2.5 Exercices
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e) Soit S une isom´ etrie ayant un point fixe O, et soient P et Q deux points
distincts, et distincts de O, tels que O, P et Q soient colin´ eaires. Montrer que
S(OP ) =
|OP |
|OQ|
S(OQ).
f) En conclure que toute isom´ etrie du plan est une transformation lin´ eaire suivie
d’une translation et donc, une transformation affine. (Une de ces deux op´ erations
peut ˆ etre l’identit´ e.)
10. a) Le patron de la figure 2.11 poss` ede une ellipse le long de l’axe des x centr´ ee
en (2
i , 0). En ce point, les axes principaux de l’ellipse sont r x = 2
i−2 , r y = 1. Ce
patron est donc dessin´ e dans la demi-bande infinie (0, ∞)×[−
1
2 ,
1
2 ]. Ce patron n’est
pas une frise puisqu’il n’est pas p´ eriodique. Sauriez-vous remplacer la condition
de p´ eriodicit´ e par une autre condition d’invariance pour que ce patron soit une
« frise » ?
b) Sauriez-vous ´ ecrire la transformation qui envoie une ellipse sur sa voisine
imm´ ediate ? Est-elle lin´ eaire ? L’ensemble de ces transformations forme-t-il un
groupe ?
Fig. 2.11. Un patron qui n’est pas p´ eriodique (voir l’exercice 10)
11. Soit r > 1 un nombre r´ eel et
Fig. 2.12. Une frise annulaire (voir l’exercice 11)
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e) Soit S une isom´ etrie ayant un point fixe O, et soient P et Q deux points
distincts, et distincts de O, tels que O, P et Q soient colin´ eaires. Montrer que
S(OP ) =
|OP |
|OQ|
S(OQ).
f) En conclure que toute isom´ etrie du plan est une transformation lin´ eaire suivie
d’une translation et donc, une transformation affine. (Une de ces deux op´ erations
peut ˆ etre l’identit´ e.)
10. a) Le patron de la figure 2.11 poss` ede une ellipse le long de l’axe des x centr´ ee
en (2
i , 0). En ce point, les axes principaux de l’ellipse sont r x = 2
i−2 , r y = 1. Ce
patron est donc dessin´ e dans la demi-bande infinie (0, ∞)×[−
1
2 ,
1
2 ]. Ce patron n’est
pas une frise puisqu’il n’est pas p´ eriodique. Sauriez-vous remplacer la condition
de p´ eriodicit´ e par une autre condition d’invariance pour que ce patron soit une
« frise » ?
b) Sauriez-vous ´ ecrire la transformation qui envoie une ellipse sur sa voisine
imm´ ediate ? Est-elle lin´ eaire ? L’ensemble de ces transformations forme-t-il un
groupe ?
Fig. 2.11. Un patron qui n’est pas p´ eriodique (voir l’exercice 10)
11. Soit r > 1 un nombre r´ eel et
Fig. 2.12. Une frise annulaire (voir l’exercice 11)