70
2 Frises et mosa¨ ıques
Fig. 2.10. Frise pour l’exercice 5
6. D´ emontrer les trois ´ enonc´ es de la proposition 2.1. Suggestion : on peut d´ emontrer
ces propri´ et´ es en se servant seulement de la g´ eom´ etrie euclidienne ou en utilisant la
repr´ esentation matricielle des transformations affines. Explorer les deux m´ ethodes.
7. a) Soient m 1 et m 2 deux droites parall` eles ` a une distance d, et soient r m1 et r m2
les r´ eflexions par rapport `
a ces droites. Montrer que la composition r m2 r m1 est une
translation d’une distance 2d dans la direction perpendiculaire aux droites (miroirs)
m 1 et m 2 . Suggestion : d´ emontrer cet ´ enonc´ e ` a l’aide de la g´ eom´ etrie euclidienne
seulement, c’est-` a-dire sans avoir recours `
a des coordonn´ ees. L’utilisation de la
distance (ou de la longueur d’un segment) est permise.
b) Soit une frise de p´ eriode L invariante sous la r´ eflexion r v par un miroir vertical.
Montrer qu’elle est ´ egalement invariante sous une r´ eflexion par un miroir vertical ` a
distance
L
2 du premier. Suggestion : ´ etudier la composition de la r´ eflexion et de la
translation t L .
8. Soient m 1 et m 2 deux droites s’intersectant en un point P , et soient r m1 et r m2
les r´ eflexions par rapport `
a ces droites. Montrer que la composition r m2 r m1 est une
rotation de deux fois l’angle entre les miroirs m 1 et m 2 et de centre P . Suggestion :
soit Q un point hors des droites m 1 et m 2 . D´ emontrer d’abord que les images r m1 Q
et Q
= r m2 r m1 Q sont sur le cercle de centre P et de rayon |P Q|. Il faudra alors
´ etudier les angles que font les segments P Q et P Q
avec une droite donn´ ee, par
exemple m 1 .
9. Le but de cet exercice est de montrer qu’une isom´ etrie est la composition d’une
transformation lin´ eaire et d’une translation et donc, une transformation affine. (Une
de ces op´ erations peut ˆ etre l’identit´ e.) Rappel : une transformation lin´ eaire du plan est
une fonction T : R
2
→ R
2 satisfaisant aux deux conditions : (i) T (u+v) = T (u)+T (v)
et (ii) T (cu) = cT (u) pour tous les points u, v ∈ R
2 et toute constante c ∈ R.
a) Montrer qu’une isom´ etrie T : R
2
→ R
2 pr´ eserve les angles. Suggestion : choisir
trois points P, Q, R non colin´ eaires. Si P
, Q
, R
sont leurs images respectives par
T , montrer que les triangles P QR et P
Q
R
sont congruents.
b) Montrer qu’une translation est une isom´ etrie.
c) Montrer que, si une isom´ etrie S n’a pas de point fixe et que S(P ) = Q, alors
la composition T S o` u T est la translation qui am` ene Q sur P poss` ede au moins un
point fixe.
d) Soit S une isom´ etrie ayant au moins un point fixe O. Soit P, Q, R choisis tels que
OP QR soit un parall´ elogramme. Soient P
, Q
, R
leur image par S. Montrer que la
somme des vecteurs OP
et OR
est OQ
. (Donc, S(OP + OR) = S(OP ) + S(OR).)
2 Frises et mosa¨ ıques
Fig. 2.10. Frise pour l’exercice 5
6. D´ emontrer les trois ´ enonc´ es de la proposition 2.1. Suggestion : on peut d´ emontrer
ces propri´ et´ es en se servant seulement de la g´ eom´ etrie euclidienne ou en utilisant la
repr´ esentation matricielle des transformations affines. Explorer les deux m´ ethodes.
7. a) Soient m 1 et m 2 deux droites parall` eles ` a une distance d, et soient r m1 et r m2
les r´ eflexions par rapport `
a ces droites. Montrer que la composition r m2 r m1 est une
translation d’une distance 2d dans la direction perpendiculaire aux droites (miroirs)
m 1 et m 2 . Suggestion : d´ emontrer cet ´ enonc´ e ` a l’aide de la g´ eom´ etrie euclidienne
seulement, c’est-` a-dire sans avoir recours `
a des coordonn´ ees. L’utilisation de la
distance (ou de la longueur d’un segment) est permise.
b) Soit une frise de p´ eriode L invariante sous la r´ eflexion r v par un miroir vertical.
Montrer qu’elle est ´ egalement invariante sous une r´ eflexion par un miroir vertical ` a
distance
L
2 du premier. Suggestion : ´ etudier la composition de la r´ eflexion et de la
translation t L .
8. Soient m 1 et m 2 deux droites s’intersectant en un point P , et soient r m1 et r m2
les r´ eflexions par rapport `
a ces droites. Montrer que la composition r m2 r m1 est une
rotation de deux fois l’angle entre les miroirs m 1 et m 2 et de centre P . Suggestion :
soit Q un point hors des droites m 1 et m 2 . D´ emontrer d’abord que les images r m1 Q
et Q
= r m2 r m1 Q sont sur le cercle de centre P et de rayon |P Q|. Il faudra alors
´ etudier les angles que font les segments P Q et P Q
avec une droite donn´ ee, par
exemple m 1 .
9. Le but de cet exercice est de montrer qu’une isom´ etrie est la composition d’une
transformation lin´ eaire et d’une translation et donc, une transformation affine. (Une
de ces op´ erations peut ˆ etre l’identit´ e.) Rappel : une transformation lin´ eaire du plan est
une fonction T : R
2
→ R
2 satisfaisant aux deux conditions : (i) T (u+v) = T (u)+T (v)
et (ii) T (cu) = cT (u) pour tous les points u, v ∈ R
2 et toute constante c ∈ R.
a) Montrer qu’une isom´ etrie T : R
2
→ R
2 pr´ eserve les angles. Suggestion : choisir
trois points P, Q, R non colin´ eaires. Si P
, Q
, R
sont leurs images respectives par
T , montrer que les triangles P QR et P
Q
R
sont congruents.
b) Montrer qu’une translation est une isom´ etrie.
c) Montrer que, si une isom´ etrie S n’a pas de point fixe et que S(P ) = Q, alors
la composition T S o` u T est la translation qui am` ene Q sur P poss` ede au moins un
point fixe.
d) Soit S une isom´ etrie ayant au moins un point fixe O. Soit P, Q, R choisis tels que
OP QR soit un parall´ elogramme. Soient P
, Q
, R
leur image par S. Montrer que la
somme des vecteurs OP
et OR
est OQ
. (Donc, S(OP + OR) = S(OP ) + S(OR).)