2.5 Exercices
69
2.5 Exercices
1. On dit que deux op´ erations de sym´ etrie a, b ∈ E commutent si ab = ba.
a) Est-ce que les op´ erations de translation commutent ?
b) Est-ce que r h , r v et r h r v commutent entre elles ?
c) Est-ce que r h , r v et r h r v commutent avec les translations ?
2. Trouver les conditions pour qu’une transformation lin´ eaire
⎛
⎝
a b 0
c d 0
0 0 1
⎞
⎠
et une translation
⎛
⎝
1 0 p
0 1 q
0 0 1
⎞
⎠
commutent entre elles.
Fig. 2.9. La frise de l’exercice 3
3. a) Indiquer sur la frise de la figure 2.9 la p´ eriode L du patron.
b) Lesquelles des transformations t L , r h , s g , r v , r h r v laissent la frise invariante ?
c) Quel est le groupe de sym´ etrie de cette frise parmi les sept groupes de frises ?
d) Ajouter un point par p´ eriode ` a la frise de fa¸ con ` a r´ eduire le groupe `
a t L et `
a
ne pas changer la p´ eriode.
4.
a) Les frises sont souvent utilis´ ees en architecture. Le livre [5] en donne des
exemples fameux. D´ eterminer auquel des sept groupes de frise appartiennent
quelques-uns des exemples qui s’y trouvent.
b) L’artiste M. Escher a r´ ealis´ e beaucoup de mosa¨ ıques remarquables. Le livre
[6] en rassemble un nombre important. D´ eterminer auquel des groupes cristallographiques (figures 2.17 `
a 2.22) appartiennent quelques-unes des mosa¨ ıques d’Escher.
5. a) Identifiez le groupe de sym´ etrie de la frise de la figure 2.10.
b) En retirant deux triangles de chaque p´ eriode de la frise propos´ ee en a), construisez une frise dont le groupe de sym´ etrie est le groupe 5 de la classification.
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2.5 Exercices
1. On dit que deux op´ erations de sym´ etrie a, b ∈ E commutent si ab = ba.
a) Est-ce que les op´ erations de translation commutent ?
b) Est-ce que r h , r v et r h r v commutent entre elles ?
c) Est-ce que r h , r v et r h r v commutent avec les translations ?
2. Trouver les conditions pour qu’une transformation lin´ eaire
⎛
⎝
a b 0
c d 0
0 0 1
⎞
⎠
et une translation
⎛
⎝
1 0 p
0 1 q
0 0 1
⎞
⎠
commutent entre elles.
Fig. 2.9. La frise de l’exercice 3
3. a) Indiquer sur la frise de la figure 2.9 la p´ eriode L du patron.
b) Lesquelles des transformations t L , r h , s g , r v , r h r v laissent la frise invariante ?
c) Quel est le groupe de sym´ etrie de cette frise parmi les sept groupes de frises ?
d) Ajouter un point par p´ eriode ` a la frise de fa¸ con ` a r´ eduire le groupe `
a t L et `
a
ne pas changer la p´ eriode.
4.
a) Les frises sont souvent utilis´ ees en architecture. Le livre [5] en donne des
exemples fameux. D´ eterminer auquel des sept groupes de frise appartiennent
quelques-uns des exemples qui s’y trouvent.
b) L’artiste M. Escher a r´ ealis´ e beaucoup de mosa¨ ıques remarquables. Le livre
[6] en rassemble un nombre important. D´ eterminer auquel des groupes cristallographiques (figures 2.17 `
a 2.22) appartiennent quelques-unes des mosa¨ ıques d’Escher.
5. a) Identifiez le groupe de sym´ etrie de la frise de la figure 2.10.
b) En retirant deux triangles de chaque p´ eriode de la frise propos´ ee en a), construisez une frise dont le groupe de sym´ etrie est le groupe 5 de la classification.