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2 Frises et mosa¨ ıques
A r =
(x, y) ∈ R
2
1
r
≤
x 2 + y 2 ≤ r
,
l’anneau centr´ e ` a l’origine du plan et d´ elimit´ e par les cercles de rayon r et
1
r .
a) Montrer que l’ensemble A r est invariant sous les rotations
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
pour tout θ ∈ [0, 2π). (L’invariance de A r signifie que la restriction ` a A r de la
transformation ´ etudi´ ee, ici la rotation, est inversible et que l’image de A r par la
transformation est exactement A r .)
b) Soit la transformation R
2
\ {(0, 0)} → R
2
\ {(0, 0)} d´ efinie par
x
=
x
x 2 + y 2 ,
y
=
y
x 2 + y 2 .
Cette transformation est appel´ ee inversion. Montrer que A r est invariant sous
cette transformation. Montrer que A
2
r est l’identit´ e. Est-ce que l’inversion est une
transformation lin´ eaire ?
c) La figure 2.12 repr´ esente une frise annulaire peinte sur un anneau A r . La
courbe en pointill´ e est le cercle de rayon 1. Contrairement aux frises introduites
pr´ ec´ edemment, les frises annulaires sont born´ ees. Il est facile de faire une correspondance entre les sym´ etries des frises de la section 2.2 et les sym´ etries possibles
d’une frise annulaire. Les translations des frises deviennent les rotations des frises
annulaires, et le miroir r h devient l’inversion introduite en b). D´ efinir, pour la frise
annulaire, la transformation correspondant au miroir r v . Nous nommerons cette
nouvelle transformation la r´ eflexion. Est-ce que la r´ eflexion est une transformation lin´ eaire ? (Comme pr´ ec´ edemment, cette transformation ne peut ˆ etre d´ efinie
qu’apr` es le choix d’une origine. Il vous faudra choisir un point particulier de A r
par lequel faire passer le miroir.)
d) `
A l’aide des trois g´ en´ erateurs rotation, inversion et r´ eflexion, construire un
ensemble de g´ en´ erateurs pour le groupe de sym´ etrie de la frise annulaire de la
figure 2.12.
12. a) Cet exercice poursuit le pr´ ec´ edent. Soit n le plus grand entier tel que la rotation
d’une frise annulaire peinte sur A r soit invariante sous une rotation d’angle
2π
n .
On supposera n ≥ 2. Faites la classification des groupes de sym´ etries des frises
annulaires pour un n donn´ e. Est-ce que cette classification d´ epend de n ?
b) L’ordre d’un groupe est le nombre d’´ el´ ements dans un groupe. L’ordre des
groupes de sym´ etries des frises est infini, mais celui des groupes des frises annulaires est fini. Calculer l’ordre des groupes que vous avez obtenus en a).
13. D´ eterminer auquel des 17 groupes des mosa¨ ıques (groupes cristallographiques) appartiennent les pavages archim´ ediens reproduits ` a la figure 2.13. (Certains pavages
2 Frises et mosa¨ ıques
A r =
(x, y) ∈ R
2
1
r
≤
x 2 + y 2 ≤ r
,
l’anneau centr´ e ` a l’origine du plan et d´ elimit´ e par les cercles de rayon r et
1
r .
a) Montrer que l’ensemble A r est invariant sous les rotations
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
pour tout θ ∈ [0, 2π). (L’invariance de A r signifie que la restriction ` a A r de la
transformation ´ etudi´ ee, ici la rotation, est inversible et que l’image de A r par la
transformation est exactement A r .)
b) Soit la transformation R
2
\ {(0, 0)} → R
2
\ {(0, 0)} d´ efinie par
x
=
x
x 2 + y 2 ,
y
=
y
x 2 + y 2 .
Cette transformation est appel´ ee inversion. Montrer que A r est invariant sous
cette transformation. Montrer que A
2
r est l’identit´ e. Est-ce que l’inversion est une
transformation lin´ eaire ?
c) La figure 2.12 repr´ esente une frise annulaire peinte sur un anneau A r . La
courbe en pointill´ e est le cercle de rayon 1. Contrairement aux frises introduites
pr´ ec´ edemment, les frises annulaires sont born´ ees. Il est facile de faire une correspondance entre les sym´ etries des frises de la section 2.2 et les sym´ etries possibles
d’une frise annulaire. Les translations des frises deviennent les rotations des frises
annulaires, et le miroir r h devient l’inversion introduite en b). D´ efinir, pour la frise
annulaire, la transformation correspondant au miroir r v . Nous nommerons cette
nouvelle transformation la r´ eflexion. Est-ce que la r´ eflexion est une transformation lin´ eaire ? (Comme pr´ ec´ edemment, cette transformation ne peut ˆ etre d´ efinie
qu’apr` es le choix d’une origine. Il vous faudra choisir un point particulier de A r
par lequel faire passer le miroir.)
d) `
A l’aide des trois g´ en´ erateurs rotation, inversion et r´ eflexion, construire un
ensemble de g´ en´ erateurs pour le groupe de sym´ etrie de la frise annulaire de la
figure 2.12.
12. a) Cet exercice poursuit le pr´ ec´ edent. Soit n le plus grand entier tel que la rotation
d’une frise annulaire peinte sur A r soit invariante sous une rotation d’angle
2π
n .
On supposera n ≥ 2. Faites la classification des groupes de sym´ etries des frises
annulaires pour un n donn´ e. Est-ce que cette classification d´ epend de n ?
b) L’ordre d’un groupe est le nombre d’´ el´ ements dans un groupe. L’ordre des
groupes de sym´ etries des frises est infini, mais celui des groupes des frises annulaires est fini. Calculer l’ordre des groupes que vous avez obtenus en a).
13. D´ eterminer auquel des 17 groupes des mosa¨ ıques (groupes cristallographiques) appartiennent les pavages archim´ ediens reproduits ` a la figure 2.13. (Certains pavages