2.4 Mosa¨ ıques
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Fig. 2.6. Le cas d’une rotation d’angle
2π
5
laquelle il est possible de couvrir le plan par translation. Cette r´ egion n’est pas unique.
Nous reproduisons `
a sa droite cette mˆ eme mosa¨ ıque, en plus pˆ ale, sur laquelle nous superposons les rotations, les r´ eflexions et les sym´ etries gliss´ ees qui font partie du groupe
de la mosa¨ ıque. Enfin, dans la l´ egende, le symbole international du groupe associ´ e est
donn´ e [4]. Voici la liste des conventions utilis´ ees. Un trait plein indique un miroir (un axe
de sym´ etrie). Une droite en pointill´ e indique une sym´ etrie gliss´ ee. Les autres symboles
sont d´ efinis ainsi. Lorsqu’un centre de rotation tombe hors d’un axe de sym´ etrie, nous
utilisons les symboles suivants :
pour le centre d’une rotation d’angle π,
pour le centre d’une rotation d’angle
2π
3 ,
pour le centre d’une rotation d’angle
π
2 ,
et un hexagone pour le centre d’une rotation d’angle
π
3 .
Lorsque le centre de rotation tombe sur un axe de sym´ etrie, les symboles pleins (, ,
etc.) sont utilis´ es ; la rotation est du mˆ eme angle que le symbole vide correspondant.
L’Alhambra, ancienne cit´ e du gouvernement des princes arabes de Grenade, au sud
de l’Espagne contemporaine, contient des mosa¨ ıques qui ´ etonnent, tant par leur nombre
que par leur complexit´ e. On a longtemps d´ ebattu ` a savoir si les 17 groupes de mosa¨ ıques
y ´ etaient repr´ esent´ es. Des travaux r´ ecents [3] montrent cependant que ce n’est pas le
cas. Mais on peut se demander si les architectes maures avaient reconnu la possibilit´ e
d’une telle classification.
La formulation des d´ efinitions pr´ ecises des frises et des mosa¨ ıques a permis aux
math´ ematiciens d’explorer de nouvelles structures en omettant certains des ´ el´ ements de
ces d´ efinitions. Les pavages ap´ eriodiques sont un exemple de ces nouvelles structures.
Une premi` ere exigence des mosa¨ ıques est qu’elles remplissent le plan, c’est-` a-dire que
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Fig. 2.6. Le cas d’une rotation d’angle
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laquelle il est possible de couvrir le plan par translation. Cette r´ egion n’est pas unique.
Nous reproduisons `
a sa droite cette mˆ eme mosa¨ ıque, en plus pˆ ale, sur laquelle nous superposons les rotations, les r´ eflexions et les sym´ etries gliss´ ees qui font partie du groupe
de la mosa¨ ıque. Enfin, dans la l´ egende, le symbole international du groupe associ´ e est
donn´ e [4]. Voici la liste des conventions utilis´ ees. Un trait plein indique un miroir (un axe
de sym´ etrie). Une droite en pointill´ e indique une sym´ etrie gliss´ ee. Les autres symboles
sont d´ efinis ainsi. Lorsqu’un centre de rotation tombe hors d’un axe de sym´ etrie, nous
utilisons les symboles suivants :
pour le centre d’une rotation d’angle π,
pour le centre d’une rotation d’angle
2π
3 ,
pour le centre d’une rotation d’angle
π
2 ,
et un hexagone pour le centre d’une rotation d’angle
π
3 .
Lorsque le centre de rotation tombe sur un axe de sym´ etrie, les symboles pleins (, ,
etc.) sont utilis´ es ; la rotation est du mˆ eme angle que le symbole vide correspondant.
L’Alhambra, ancienne cit´ e du gouvernement des princes arabes de Grenade, au sud
de l’Espagne contemporaine, contient des mosa¨ ıques qui ´ etonnent, tant par leur nombre
que par leur complexit´ e. On a longtemps d´ ebattu ` a savoir si les 17 groupes de mosa¨ ıques
y ´ etaient repr´ esent´ es. Des travaux r´ ecents [3] montrent cependant que ce n’est pas le
cas. Mais on peut se demander si les architectes maures avaient reconnu la possibilit´ e
d’une telle classification.
La formulation des d´ efinitions pr´ ecises des frises et des mosa¨ ıques a permis aux
math´ ematiciens d’explorer de nouvelles structures en omettant certains des ´ el´ ements de
ces d´ efinitions. Les pavages ap´ eriodiques sont un exemple de ces nouvelles structures.
Une premi` ere exigence des mosa¨ ıques est qu’elles remplissent le plan, c’est-` a-dire que