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2 Frises et mosa¨ ıques
Fig. 2.5. Le point O et deux de ses images A, B par translation
point A parmi les points les plus proches de O qui peuvent ˆ etre obtenus de O par des
translations laissant la mosa¨ ıque inchang´ ee. La translation le long de f appartient donc
au groupe de la mosa¨ ıque.
En faisant tourner la mosa¨ ıque autour de O de l’angle θ, on obtient un point B,
et le vecteur f
joignant O ` a B est le vecteur d’une translation qui est ´ egalement une
sym´ etrie de la mosa¨ ıque (figure 2.5). (Exercice : pourquoi ?) La distance entre B et A
est la longueur du vecteur f − f
et, puisque f − f
est ´ egalement une translation laissant
la mosa¨ ıque inchang´ ee, cette distance doit donc ˆ etre plus grande ou ´ egale `
a la longueur
de f par hypoth` ese. (A est une des images par translation de O les plus proches de
O.) Puisque f et f
sont de mˆ eme longueur, il faut donc que l’angle θ =
2π
n soit plus
grand ou ´ egal `
a
2π
6 =
π
3 , c’est-` a-dire `
a 60
◦ . En effet,
π
3 est l’angle qui est tel que f , f
et
f − f
soient tous les trois de mˆ eme longueur. Ce premier argument restreint les angles
possibles ` a
2π
2 = π,
2π
3 ,
2π
4 =
π
2 ,
2π
5 et
2π
6 =
π
3 .
La valeur
2π
5 ne peut cependant pas ˆ etre l’angle d’une rotation d’une mosa¨ ıque. La
figure 2.6 montre f et son image f
par une rotation de
4π
5 . La translation le long de f +f
sera aussi une sym´ etrie, mais elle est plus courte que f , ce qui est une contradiction. Il
faut donc rejeter cet angle.
Les ´ el´ ements des groupes cristallographiques sont semblables `
a ceux que l’on retrouve dans les groupes de frises : les translations, les r´ eflexions, les sym´ etries gliss´ ees
(telle l’op´ eration s g pour les frises) et les rotations. Plutˆ ot que de dresser une liste de
g´ en´ erateurs pour les 17 groupes cristallographiques, nous reproduisons, aux figures 2.17
` a 2.22 (p. 78 et suivantes), des exemples de chacun et de leurs sym´ etries. Pour chaque
groupe, on trouve `
a gauche une mosa¨ ıque avec un parall´ elogramme indiquant par ses
arˆ etes deux vecteurs de translation lin´ eairement ind´ ependants. Ces deux vecteurs ont
´ et´ e choisis pour que le parall´ elogramme couvre la plus petite r´ egion du plan `
a partir de
2 Frises et mosa¨ ıques
Fig. 2.5. Le point O et deux de ses images A, B par translation
point A parmi les points les plus proches de O qui peuvent ˆ etre obtenus de O par des
translations laissant la mosa¨ ıque inchang´ ee. La translation le long de f appartient donc
au groupe de la mosa¨ ıque.
En faisant tourner la mosa¨ ıque autour de O de l’angle θ, on obtient un point B,
et le vecteur f
joignant O ` a B est le vecteur d’une translation qui est ´ egalement une
sym´ etrie de la mosa¨ ıque (figure 2.5). (Exercice : pourquoi ?) La distance entre B et A
est la longueur du vecteur f − f
et, puisque f − f
est ´ egalement une translation laissant
la mosa¨ ıque inchang´ ee, cette distance doit donc ˆ etre plus grande ou ´ egale `
a la longueur
de f par hypoth` ese. (A est une des images par translation de O les plus proches de
O.) Puisque f et f
sont de mˆ eme longueur, il faut donc que l’angle θ =
2π
n soit plus
grand ou ´ egal `
a
2π
6 =
π
3 , c’est-` a-dire `
a 60
◦ . En effet,
π
3 est l’angle qui est tel que f , f
et
f − f
soient tous les trois de mˆ eme longueur. Ce premier argument restreint les angles
possibles ` a
2π
2 = π,
2π
3 ,
2π
4 =
π
2 ,
2π
5 et
2π
6 =
π
3 .
La valeur
2π
5 ne peut cependant pas ˆ etre l’angle d’une rotation d’une mosa¨ ıque. La
figure 2.6 montre f et son image f
par une rotation de
4π
5 . La translation le long de f +f
sera aussi une sym´ etrie, mais elle est plus courte que f , ce qui est une contradiction. Il
faut donc rejeter cet angle.
Les ´ el´ ements des groupes cristallographiques sont semblables `
a ceux que l’on retrouve dans les groupes de frises : les translations, les r´ eflexions, les sym´ etries gliss´ ees
(telle l’op´ eration s g pour les frises) et les rotations. Plutˆ ot que de dresser une liste de
g´ en´ erateurs pour les 17 groupes cristallographiques, nous reproduisons, aux figures 2.17
` a 2.22 (p. 78 et suivantes), des exemples de chacun et de leurs sym´ etries. Pour chaque
groupe, on trouve `
a gauche une mosa¨ ıque avec un parall´ elogramme indiquant par ses
arˆ etes deux vecteurs de translation lin´ eairement ind´ ependants. Ces deux vecteurs ont
´ et´ e choisis pour que le parall´ elogramme couvre la plus petite r´ egion du plan `
a partir de