2.4 Mosa¨ ıques
65
Trois de ces g´ en´ erateurs appartiennent `
a la liste engendrant le cas 6 alors que le quatri` eme g´ en´ erateur (t L/2 r v ) est simplement le produit de s g = t L/2 r h et de r h r v . Donc,
le cas 9 est identique au cas 6, et nous pouvons l’omettre.
Le dernier cas, 10, contient parmi ses g´ en´ erateurs ceux du cas 8 et est donc ` a ´ eliminer
pour la mˆ eme raison.
Ainsi, le groupe de sym´ etrie d’une frise est l’un des sept de l’´ enonc´ e. Y a-t-il des redondances dans cette liste ? Non, et la liste de la figure 2.2 permet de nous en convaincre.
La d´ emonstration est quelque peu fastidieuse, et nous la restreindrons `
a la frise 4 dont
le groupe est t L , s g . La premi` ere observation est que les deux g´ en´ erateurs t L et s g du
sous-groupe 4 sont des sym´ etries de cette frise. Le groupe qu’ils engendrent est donc un
sous-groupe du groupe de sym´ etrie de la frise 4. Peut-on ajouter des g´ en´ erateurs `
a ces
deux-l` a ? Un rapide coup d’œil montre qu’aucun ajout (parmi les possibilit´ es restantes
r h , r v , r h r v ) n’est possible. Donc, t L , s g est bien le groupe de sym´ etrie de la frise 4.
Enfin, puisque le groupe 1 est distinct du groupe 4 et que les cinq autres groupes de
l’´ enonc´ e poss` edent au moins un des g´ en´ erateurs r h , r v ou r h r v que le groupe 4 n’a pas,
le groupe 4 est distinct des six autres. En r´ ep´ etant cet argument pour les autres paires
frise / sous-groupe, on se convainc que la liste de l’´ enonc´ e est exhaustive et ne contient
pas de redondance.
2.4 Mosa¨ ıques
Les mosa¨ ıques sont aussi populaires, sinon plus, que les frises en architecture.
Une mosa¨ ıque sera pour nous un patron remplissant le plan, qui poss` ede deux directions lin´ eairement ind´ ependantes de p´ eriodicit´ e. Ainsi, il existe deux vecteurs t 1 et t 2
lin´ eairement ind´ ependants le long desquels une translation de la mosa¨ ıque la laisse inchang´ ee.
Comme pour les frises, les mosa¨ ıques peuvent ˆ etre ´ etudi´ ees grˆ ace aux op´ erations de
sym´ etrie qui les laissent inchang´ ees. Et, comme pour les groupes des frises, il est possible
de classifier les groupes de mosa¨ ıques. `
A cause de leur importance en physique et dans la
chimie des cristaux, ils portent le nom de groupes cristallographiques. Il y a 17 groupes
cristallographiques. Nous n’obtiendrons pas cette classification. Notre travail se limitera
` a ´ enum´ erer les rotations pouvant intervenir dans les groupes de sym´ etrie des mosa¨ ıques
et `
a comprendre la description de la classification.
Lemme 2.13 Les rotations laissant une mosa¨ ıque inchang´ ee font partie des rotations
d’angle π,
2π
3 ,
π
2 et
π
3 .
Preuve Soit un point O d’une mosa¨ ıque qui est le centre d’une rotation laissant la
mosa¨ ıque inchang´ ee. Soit θ =
2π
n le plus petit angle de rotation en ce centre. Puisque
la mosa¨ ıque est p´ eriodique dans deux directions lin´ eairement ind´ ependantes, il existera
une infinit´ e de points poss´ edant la mˆ eme propri´ et´ e. Soit f un vecteur joignant O ` a un
65
Trois de ces g´ en´ erateurs appartiennent `
a la liste engendrant le cas 6 alors que le quatri` eme g´ en´ erateur (t L/2 r v ) est simplement le produit de s g = t L/2 r h et de r h r v . Donc,
le cas 9 est identique au cas 6, et nous pouvons l’omettre.
Le dernier cas, 10, contient parmi ses g´ en´ erateurs ceux du cas 8 et est donc ` a ´ eliminer
pour la mˆ eme raison.
Ainsi, le groupe de sym´ etrie d’une frise est l’un des sept de l’´ enonc´ e. Y a-t-il des redondances dans cette liste ? Non, et la liste de la figure 2.2 permet de nous en convaincre.
La d´ emonstration est quelque peu fastidieuse, et nous la restreindrons `
a la frise 4 dont
le groupe est t L , s g . La premi` ere observation est que les deux g´ en´ erateurs t L et s g du
sous-groupe 4 sont des sym´ etries de cette frise. Le groupe qu’ils engendrent est donc un
sous-groupe du groupe de sym´ etrie de la frise 4. Peut-on ajouter des g´ en´ erateurs `
a ces
deux-l` a ? Un rapide coup d’œil montre qu’aucun ajout (parmi les possibilit´ es restantes
r h , r v , r h r v ) n’est possible. Donc, t L , s g est bien le groupe de sym´ etrie de la frise 4.
Enfin, puisque le groupe 1 est distinct du groupe 4 et que les cinq autres groupes de
l’´ enonc´ e poss` edent au moins un des g´ en´ erateurs r h , r v ou r h r v que le groupe 4 n’a pas,
le groupe 4 est distinct des six autres. En r´ ep´ etant cet argument pour les autres paires
frise / sous-groupe, on se convainc que la liste de l’´ enonc´ e est exhaustive et ne contient
pas de redondance.
2.4 Mosa¨ ıques
Les mosa¨ ıques sont aussi populaires, sinon plus, que les frises en architecture.
Une mosa¨ ıque sera pour nous un patron remplissant le plan, qui poss` ede deux directions lin´ eairement ind´ ependantes de p´ eriodicit´ e. Ainsi, il existe deux vecteurs t 1 et t 2
lin´ eairement ind´ ependants le long desquels une translation de la mosa¨ ıque la laisse inchang´ ee.
Comme pour les frises, les mosa¨ ıques peuvent ˆ etre ´ etudi´ ees grˆ ace aux op´ erations de
sym´ etrie qui les laissent inchang´ ees. Et, comme pour les groupes des frises, il est possible
de classifier les groupes de mosa¨ ıques. `
A cause de leur importance en physique et dans la
chimie des cristaux, ils portent le nom de groupes cristallographiques. Il y a 17 groupes
cristallographiques. Nous n’obtiendrons pas cette classification. Notre travail se limitera
` a ´ enum´ erer les rotations pouvant intervenir dans les groupes de sym´ etrie des mosa¨ ıques
et `
a comprendre la description de la classification.
Lemme 2.13 Les rotations laissant une mosa¨ ıque inchang´ ee font partie des rotations
d’angle π,
2π
3 ,
π
2 et
π
3 .
Preuve Soit un point O d’une mosa¨ ıque qui est le centre d’une rotation laissant la
mosa¨ ıque inchang´ ee. Soit θ =
2π
n le plus petit angle de rotation en ce centre. Puisque
la mosa¨ ıque est p´ eriodique dans deux directions lin´ eairement ind´ ependantes, il existera
une infinit´ e de points poss´ edant la mˆ eme propri´ et´ e. Soit f un vecteur joignant O ` a un