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2 Frises et mosa¨ ıques
D´ efinition 2.11 Soit {a, b, . . . , c} un sous-ensemble d’un groupe G. Cet ensemble est
un ensemble de g´ en´ erateurs de G, et alors on ´ ecrit a, b, . . . , c = G, si G est l’ensemble
de toutes les compositions d’un nombre fini d’´ el´ ements de {a, b, . . . , c} et de leurs inverses.
Th´ eor` eme 2.12 (classification des groupes des frises) Le groupe de sym´ etrie
d’une frise est l’un des sept suivants :
1. t L
2. t L , r v
3. t L , r h
4. t L , s g
5. t L , r h r v
6. t L , s g , r h r v
7. t L , r h , r v
Ces groupes sont d´ ecrits par un ensemble de g´ en´ erateurs et sont donn´ es dans l’ordre des
frises apparaissant aux figures 2.1 et 2.2.
Preuve D´ esignons par t L la translation par L le long de l’axe horizontal. Tous les
groupes contiendront les translations par un multiple entier de L, la p´ eriode de la frise
´ etudi´ ee. Par un choix appropri´ e de l’origine, les seuls autres g´ en´ erateurs des groupes
de sym´ etrie seront les transformations lin´ eaires d´ ecrites par A = r h , r v ou r h r v et
la sym´ etrie gliss´ ee s g du lemme 2.10. Notons que, si un groupe poss` ede deux des
trois op´ erations r h , r v et r h r v , il poss` ede automatiquement les trois. (Les op´ erations
de sym´ etrie forment un groupe !) La liste de toutes les combinaisons possibles de
g´ en´ erateurs contient donc les sept qui figurent dans l’´ enonc´ e ainsi que
8. t L , s g , r h
9. t L , s g , r v
10. t L , s g , r h , r v
(Revoir au besoin la description de cette liste ` a la fin de la section 2.1.) Pour le cas
8, notons que l’existence parmi les g´ en´ erateurs de s g = t L/2 r h et r h implique que le
groupe contiendra ´ egalement leur produit (t L/2 r h ) × r h = t L/2 (r
2
h ) = t L/2 , c’est-` a-dire
la translation par L/2 (car r
2
h = Id), ce qui contredit le fait que la frise est p´ eriodique de
p´ eriode (minimale) L. Ce cas doit donc ˆ etre rejet´ e. (Nous avions d´ ej` a fait cet argument
` a la fin de la section 2.1.)
Pour le cas 9, notons que le produit des g´ en´ erateurs s g = t L/2 r h et r v est de la
forme t L/2 r h r v examin´ ee dans le lemme 2.10. Par translation de l’origine (par a =
L
4 ),
ce produit peut ˆ etre mis sous la forme (2.7) avec A = r h r v . Un calcul simple montre que
les g´ en´ erateurs t L et s g demeurent inchang´ es par cette translation, mais que r v devient
t L/2 r v . Ainsi, le sous-groupe 9 peut ˆ etre ´ egalement engendr´ e par t L , s g , t L/2 r v , r h r v .
2 Frises et mosa¨ ıques
D´ efinition 2.11 Soit {a, b, . . . , c} un sous-ensemble d’un groupe G. Cet ensemble est
un ensemble de g´ en´ erateurs de G, et alors on ´ ecrit a, b, . . . , c = G, si G est l’ensemble
de toutes les compositions d’un nombre fini d’´ el´ ements de {a, b, . . . , c} et de leurs inverses.
Th´ eor` eme 2.12 (classification des groupes des frises) Le groupe de sym´ etrie
d’une frise est l’un des sept suivants :
1. t L
2. t L , r v
3. t L , r h
4. t L , s g
5. t L , r h r v
6. t L , s g , r h r v
7. t L , r h , r v
Ces groupes sont d´ ecrits par un ensemble de g´ en´ erateurs et sont donn´ es dans l’ordre des
frises apparaissant aux figures 2.1 et 2.2.
Preuve D´ esignons par t L la translation par L le long de l’axe horizontal. Tous les
groupes contiendront les translations par un multiple entier de L, la p´ eriode de la frise
´ etudi´ ee. Par un choix appropri´ e de l’origine, les seuls autres g´ en´ erateurs des groupes
de sym´ etrie seront les transformations lin´ eaires d´ ecrites par A = r h , r v ou r h r v et
la sym´ etrie gliss´ ee s g du lemme 2.10. Notons que, si un groupe poss` ede deux des
trois op´ erations r h , r v et r h r v , il poss` ede automatiquement les trois. (Les op´ erations
de sym´ etrie forment un groupe !) La liste de toutes les combinaisons possibles de
g´ en´ erateurs contient donc les sept qui figurent dans l’´ enonc´ e ainsi que
8. t L , s g , r h
9. t L , s g , r v
10. t L , s g , r h , r v
(Revoir au besoin la description de cette liste ` a la fin de la section 2.1.) Pour le cas
8, notons que l’existence parmi les g´ en´ erateurs de s g = t L/2 r h et r h implique que le
groupe contiendra ´ egalement leur produit (t L/2 r h ) × r h = t L/2 (r
2
h ) = t L/2 , c’est-` a-dire
la translation par L/2 (car r
2
h = Id), ce qui contredit le fait que la frise est p´ eriodique de
p´ eriode (minimale) L. Ce cas doit donc ˆ etre rejet´ e. (Nous avions d´ ej` a fait cet argument
` a la fin de la section 2.1.)
Pour le cas 9, notons que le produit des g´ en´ erateurs s g = t L/2 r h et r v est de la
forme t L/2 r h r v examin´ ee dans le lemme 2.10. Par translation de l’origine (par a =
L
4 ),
ce produit peut ˆ etre mis sous la forme (2.7) avec A = r h r v . Un calcul simple montre que
les g´ en´ erateurs t L et s g demeurent inchang´ es par cette translation, mais que r v devient
t L/2 r v . Ainsi, le sous-groupe 9 peut ˆ etre ´ egalement engendr´ e par t L , s g , t L/2 r v , r h r v .