2.3 La classification
63
sym´ etrie. Montrer que les transformations repr´ esent´ ees par ( A t
0 1 ) avec A ´ egal `
a ( 1 0
0 1 ) ou
` a r h sont toujours repr´ esent´ ees par les mˆ emes matrices apr` es une translation horizontale
de l’origine.) Si a est choisi ´ egal `
a t
x /2, alors la transformation repr´ esent´ ee par (2.6) est
maintenant repr´ esent´ ee dans le nouveau syst` eme par
⎛
⎝
−1 0 0
0 ±1 0
0
0 1
⎞
⎠
(2.7)
qui est du type (i).
Notons enfin que, si le groupe de la frise contient deux transformations de type (2.6)
avec t
x1 , t
x2 ∈ [0, L) distincts, alors le d´ eplacement de l’origine assure que celle avec t
x1
peut ˆ etre mise sous la forme (2.7). La seconde transformation demeure de la forme (2.6)
avec t
x2 remplac´ e par t x2 = t
x2 − t
x1 . Si les deux transformations ont le mˆ eme A, alors
leur composition sera une translation par t x2 , ce qui force t x2 ` a ˆ etre un multiple entier
de L. (Dans ce cas, le changement d’origine aura mis les deux transformations sous la
forme (i).) Si, cependant, le bloc A est diff´ erent pour ces deux transformations, nous
pouvons supposer que la premi` ere a un A =
−1 0
0 −1
et qu’elle est donc une rotation
r h r v de 180
◦ . La composition des deux est alors
⎛
⎝
1 0 t x2
0 −1 0
0 0
1
⎞
⎠
et, par les arguments pr´ ec´ edents, t x2 doit ˆ etre nL ou nL +
L
2 pour un certain entier n.
La seconde transformation est donc de la forme (i) si t x2 est un multiple entier de L ou
de la forme (iii) sinon.
Les deux premi` eres formes permises par le lemme 2.10 sont donc (i), soit la composition d’une transformation lin´ eaire (lemme 2.7) et d’une translation t nL par un
multiple entier de la p´ eriode L (ii), soit la composition de la sym´ etrie gliss´ ee s g et
d’une translation t nL . La troisi` eme forme, (iii), ne peut ˆ etre pr´ esente que si r h r v l’est
´ egalement, et alors, il est possible d’utiliser r h r v et l’isom´ etrie de la forme (ii) (avec
n = 0) comme g´ en´ erateurs. Les trois lemmes montrent qu’il est possible d’engendrer
le groupe de sym´ etrie de toute frise ` a l’aide des cinq g´ en´ erateurs t L , r h , r v , r h r v , s g . Ils
r´ epondent donc ` a une des questions laiss´ ees en suspens ` a la fin de la section 2.1.
Les lemmes ci-dessus permettent maintenant de terminer la classification des groupes
de sym´ etrie des frises et de r´ epondre par l’affirmative `
a la question que nous nous ´ etions
pos´ ee : est-il possible de classifier les frises selon l’ensemble des op´ erations g´ eom´ etriques
qui les laissent inchang´ ees ? Dans chaque cas, pour donner le groupe de sym´ etrie d’une
frise, nous sp´ ecifierons un ensemble de g´ en´ erateurs. Nous rappelons formellement la
d´ efinition d’un ensemble de g´ en´ erateurs.
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sym´ etrie. Montrer que les transformations repr´ esent´ ees par ( A t
0 1 ) avec A ´ egal `
a ( 1 0
0 1 ) ou
` a r h sont toujours repr´ esent´ ees par les mˆ emes matrices apr` es une translation horizontale
de l’origine.) Si a est choisi ´ egal `
a t
x /2, alors la transformation repr´ esent´ ee par (2.6) est
maintenant repr´ esent´ ee dans le nouveau syst` eme par
⎛
⎝
−1 0 0
0 ±1 0
0
0 1
⎞
⎠
(2.7)
qui est du type (i).
Notons enfin que, si le groupe de la frise contient deux transformations de type (2.6)
avec t
x1 , t
x2 ∈ [0, L) distincts, alors le d´ eplacement de l’origine assure que celle avec t
x1
peut ˆ etre mise sous la forme (2.7). La seconde transformation demeure de la forme (2.6)
avec t
x2 remplac´ e par t x2 = t
x2 − t
x1 . Si les deux transformations ont le mˆ eme A, alors
leur composition sera une translation par t x2 , ce qui force t x2 ` a ˆ etre un multiple entier
de L. (Dans ce cas, le changement d’origine aura mis les deux transformations sous la
forme (i).) Si, cependant, le bloc A est diff´ erent pour ces deux transformations, nous
pouvons supposer que la premi` ere a un A =
−1 0
0 −1
et qu’elle est donc une rotation
r h r v de 180
◦ . La composition des deux est alors
⎛
⎝
1 0 t x2
0 −1 0
0 0
1
⎞
⎠
et, par les arguments pr´ ec´ edents, t x2 doit ˆ etre nL ou nL +
L
2 pour un certain entier n.
La seconde transformation est donc de la forme (i) si t x2 est un multiple entier de L ou
de la forme (iii) sinon.
Les deux premi` eres formes permises par le lemme 2.10 sont donc (i), soit la composition d’une transformation lin´ eaire (lemme 2.7) et d’une translation t nL par un
multiple entier de la p´ eriode L (ii), soit la composition de la sym´ etrie gliss´ ee s g et
d’une translation t nL . La troisi` eme forme, (iii), ne peut ˆ etre pr´ esente que si r h r v l’est
´ egalement, et alors, il est possible d’utiliser r h r v et l’isom´ etrie de la forme (ii) (avec
n = 0) comme g´ en´ erateurs. Les trois lemmes montrent qu’il est possible d’engendrer
le groupe de sym´ etrie de toute frise ` a l’aide des cinq g´ en´ erateurs t L , r h , r v , r h r v , s g . Ils
r´ epondent donc ` a une des questions laiss´ ees en suspens ` a la fin de la section 2.1.
Les lemmes ci-dessus permettent maintenant de terminer la classification des groupes
de sym´ etrie des frises et de r´ epondre par l’affirmative `
a la question que nous nous ´ etions
pos´ ee : est-il possible de classifier les frises selon l’ensemble des op´ erations g´ eom´ etriques
qui les laissent inchang´ ees ? Dans chaque cas, pour donner le groupe de sym´ etrie d’une
frise, nous sp´ ecifierons un ensemble de g´ en´ erateurs. Nous rappelons formellement la
d´ efinition d’un ensemble de g´ en´ erateurs.