62
2 Frises et mosa¨ ıques
⎛
⎝
1 0 t
x
0 −1 0
0 0
1
⎞
⎠
2
=
⎛
⎝
1 0 2t
x
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠
est une translation et donc, il existe m ∈ Z tel que 2t
x = mL. Puisque 0 ≤ t
x < L,
on a que 0 ≤ 2t
x < 2L. Si t
x = 0, la partie translation est triviale. Sinon, il faut que
t
x = L/2, et la transformation est
⎛
⎝
1 0 L/2
0 −1
0
0 0
1
⎞
⎠ .
(2.5)
Restent les deux cas A =
−1 0
0 −1
et A =
−1 0
0 1
. Nous allons utiliser ici la libert´ e
du choix de l’origine. Consid´ erons un changement de l’origine par une translation le long
de l’axe des x par la quantit´ e a. La matrice de changement de coordonn´ ees est donn´ ee
par
S =
⎛
⎝
1 0 −a
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠ .
Si T est la matrice repr´ esentant une transformation affine dans le syst` eme de coordonn´ ees (x, y) et S, la matrice permettant de passer du syst` eme de coordonn´ ees (x, y)
au nouveau syst` eme (x
, y
), la mˆ eme transformation affine sera repr´ esent´ ee dans le
nouveau syst` eme par la matrice ST S
−1 . Pour comprendre cette relation, il faut la
lire de droite `
a gauche comme d’habitude. La matrice S
−1 remet les nouvelles coordonn´ ees (x
, y
) du point ´ etudi´ e dans le syst` eme de coordonn´ ees original, la matrice T
qui repr´ esente la transformation affine dans le syst` eme original est alors appliqu´ ee et,
finalement, les coordonn´ ees du point transform´ e sont retransform´ ees dans le nouveau
syst` eme de coordonn´ ees grˆ ace ` a la matrice S. La transformation repr´ esent´ ee dans le
syst` eme original par
⎛
⎝
−1 0 t
x
0 ±1 0
0
0
1
⎞
⎠
(2.6)
sera alors repr´ esent´ ee par la matrice
⎛
⎝
1 0 −a
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠
⎛
⎝
−1 0 t
x
0 ±1 0
0
0
1
⎞
⎠
⎛
⎝
1 0 a
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠
=
⎛
⎝
−1 0 t
x − a
0 ±1
0
0
0
1
⎞
⎠
⎛
⎝
1 0 a
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
−1 0 t
x − 2a
0 ±1
0
0
0
1
⎞
⎠
dans le nouveau syst` eme de coordonn´ ees. (Exercice : il est crucial de s’assurer que le
changement de syst` eme de coordonn´ ees ne d´ etruit pas la forme des autres op´ erations de
2 Frises et mosa¨ ıques
⎛
⎝
1 0 t
x
0 −1 0
0 0
1
⎞
⎠
2
=
⎛
⎝
1 0 2t
x
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠
est une translation et donc, il existe m ∈ Z tel que 2t
x = mL. Puisque 0 ≤ t
x < L,
on a que 0 ≤ 2t
x < 2L. Si t
x = 0, la partie translation est triviale. Sinon, il faut que
t
x = L/2, et la transformation est
⎛
⎝
1 0 L/2
0 −1
0
0 0
1
⎞
⎠ .
(2.5)
Restent les deux cas A =
−1 0
0 −1
et A =
−1 0
0 1
. Nous allons utiliser ici la libert´ e
du choix de l’origine. Consid´ erons un changement de l’origine par une translation le long
de l’axe des x par la quantit´ e a. La matrice de changement de coordonn´ ees est donn´ ee
par
S =
⎛
⎝
1 0 −a
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠ .
Si T est la matrice repr´ esentant une transformation affine dans le syst` eme de coordonn´ ees (x, y) et S, la matrice permettant de passer du syst` eme de coordonn´ ees (x, y)
au nouveau syst` eme (x
, y
), la mˆ eme transformation affine sera repr´ esent´ ee dans le
nouveau syst` eme par la matrice ST S
−1 . Pour comprendre cette relation, il faut la
lire de droite `
a gauche comme d’habitude. La matrice S
−1 remet les nouvelles coordonn´ ees (x
, y
) du point ´ etudi´ e dans le syst` eme de coordonn´ ees original, la matrice T
qui repr´ esente la transformation affine dans le syst` eme original est alors appliqu´ ee et,
finalement, les coordonn´ ees du point transform´ e sont retransform´ ees dans le nouveau
syst` eme de coordonn´ ees grˆ ace ` a la matrice S. La transformation repr´ esent´ ee dans le
syst` eme original par
⎛
⎝
−1 0 t
x
0 ±1 0
0
0
1
⎞
⎠
(2.6)
sera alors repr´ esent´ ee par la matrice
⎛
⎝
1 0 −a
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠
⎛
⎝
−1 0 t
x
0 ±1 0
0
0
1
⎞
⎠
⎛
⎝
1 0 a
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠
=
⎛
⎝
−1 0 t
x − a
0 ±1
0
0
0
1
⎞
⎠
⎛
⎝
1 0 a
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
−1 0 t
x − 2a
0 ±1
0
0
0
1
⎞
⎠
dans le nouveau syst` eme de coordonn´ ees. (Exercice : il est crucial de s’assurer que le
changement de syst` eme de coordonn´ ees ne d´ etruit pas la forme des autres op´ erations de