2.3 La classification
61
(i)
⎛
⎝ A
nL
0
0 0 1
⎞
⎠ , (ii)
⎛
⎝
1 0 L/2 + nL
0 −1
0
0 0
1
⎞
⎠ et (iii)
⎛
⎝
−1 0 L/2 + nL
0 1
0
0 0
1
⎞
⎠ ,
o` u n ∈ Z et A est une des quatre matrices permises par le lemme 2.7. La forme (iii) ne
peut ˆ etre pr´ esente que si la rotation r h r v est aussi une sym´ etrie.
Preuve La condition d’isom´ etrie requiert que les longueurs soient pr´ eserv´ ees. Puisque
la distance entre deux points est identique `
a celle entre leurs images par la mˆ eme translation, il faudra encore que la matrice A soit l’une des quatre matrices (2.3) trouv´ ees
au lemme 2.7. De plus, si t y = 0 dans
⎛
⎝
a b t x
c d t y
0 0 1
⎞
⎠ ,
alors y
= cx + dy + t y quittera la frise pour certains x et y. Pour le voir, notons d’abord
que l’image du carr´ e [−1, 1] × [−1, 1] par chacune des quatre matrices A permises est le
carr´ e lui-mˆ eme. Toute translation avec t y = 0 m` enera cette image plus haut (si t y > 0)
ou plus bas que sa position originale et donc, en dehors de la frise. Donc, t y doit ˆ etre
nul.
Puisqu’un groupe de sym´ etrie contient les translations par un multiple entier de L
le long de l’axe horizontal, la pr´ esence de
⎛
⎝
a 0 t x
0 d 0
0 0 1
⎞
⎠
dans le groupe implique la pr´ esence de
⎛
⎝
1 0 nL
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠
⎛
⎝
a 0 t x
0 d 0
0 0 1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
a 0 t x + nL
0 d
0
0 0
1
⎞
⎠
pour tout n ∈ Z. De l’ensemble des ´ el´ ements de cette forme, un ´ el´ ement sera tel que
0 ≤ t
x = t x + nL < L.
Nous devons maintenant consid´ erer les quatre cas possibles pour A. Si A est l’identit´ e, alors le lemme 2.9 force t
x ` a ˆ etre nul, et la matrice devient du type (i).
Soit A = r h . Alors, le carr´ e de
⎛
⎝ r h
t
x
0
0 0 1
⎞
⎠
doit ˆ etre ´ egalement dans le groupe de la frise. Or,
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(i)
⎛
⎝ A
nL
0
0 0 1
⎞
⎠ , (ii)
⎛
⎝
1 0 L/2 + nL
0 −1
0
0 0
1
⎞
⎠ et (iii)
⎛
⎝
−1 0 L/2 + nL
0 1
0
0 0
1
⎞
⎠ ,
o` u n ∈ Z et A est une des quatre matrices permises par le lemme 2.7. La forme (iii) ne
peut ˆ etre pr´ esente que si la rotation r h r v est aussi une sym´ etrie.
Preuve La condition d’isom´ etrie requiert que les longueurs soient pr´ eserv´ ees. Puisque
la distance entre deux points est identique `
a celle entre leurs images par la mˆ eme translation, il faudra encore que la matrice A soit l’une des quatre matrices (2.3) trouv´ ees
au lemme 2.7. De plus, si t y = 0 dans
⎛
⎝
a b t x
c d t y
0 0 1
⎞
⎠ ,
alors y
= cx + dy + t y quittera la frise pour certains x et y. Pour le voir, notons d’abord
que l’image du carr´ e [−1, 1] × [−1, 1] par chacune des quatre matrices A permises est le
carr´ e lui-mˆ eme. Toute translation avec t y = 0 m` enera cette image plus haut (si t y > 0)
ou plus bas que sa position originale et donc, en dehors de la frise. Donc, t y doit ˆ etre
nul.
Puisqu’un groupe de sym´ etrie contient les translations par un multiple entier de L
le long de l’axe horizontal, la pr´ esence de
⎛
⎝
a 0 t x
0 d 0
0 0 1
⎞
⎠
dans le groupe implique la pr´ esence de
⎛
⎝
1 0 nL
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠
⎛
⎝
a 0 t x
0 d 0
0 0 1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
a 0 t x + nL
0 d
0
0 0
1
⎞
⎠
pour tout n ∈ Z. De l’ensemble des ´ el´ ements de cette forme, un ´ el´ ement sera tel que
0 ≤ t
x = t x + nL < L.
Nous devons maintenant consid´ erer les quatre cas possibles pour A. Si A est l’identit´ e, alors le lemme 2.9 force t
x ` a ˆ etre nul, et la matrice devient du type (i).
Soit A = r h . Alors, le carr´ e de
⎛
⎝ r h
t
x
0
0 0 1
⎞
⎠
doit ˆ etre ´ egalement dans le groupe de la frise. Or,