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2 Frises et mosa¨ ıques
laisse les frises de p´ eriode L invariantes. Remarquons que l’inverse de cette translation
est
t −L =
⎛
⎝
1 0 −L
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠
et que son produit n fois avec elle-mˆ eme donne
t nL =
⎛
⎝
1 0 nL
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠ .
(Exercice !) Les translations t nL sont donc dans le groupe de sym´ etrie pour tout n ∈ Z.
Aucune translation de la forme
⎛
⎝
1 0 a
0 1 b
0 0 1
⎞
⎠
avec b = 0 ne peut laisser une frise inchang´ ee, car certains points de la frise seront
amen´ es hors de la frise par la partie verticale de la translation. Il ne reste plus que la
possibilit´ e de translations de la forme
⎛
⎝
1 0 a
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠ ,
o` u a n’est pas un multiple entier de L. Supposons qu’apr` es avoir effectu´ e cette translation
par a, nous translations la frise de fa¸ con r´ ep´ et´ ee par L ou par −L jusqu’` a ramener la
frise ` a une distance (horizontale) de sa position originale qui soit a
avec 0 ≤ a
< L. Si
0 < a
< L, cette translation r´ esultante, qui est aussi une sym´ etrie de la frise, est plus
petite que la p´ eriode, ce qui contredit la d´ efinition mˆ eme de la p´ eriode. Si a
= 0, alors
a est un multiple entier de L, ce qui est aussi une contradiction. Les seules translations
possibles sont donc celles de l’´ enonc´ e.
Existe-t-il d’autres transformations de la forme
A t
0 1
o` u A est une matrice diff´ erant de l’identit´ e, et t est non nul ? Le lemme qui suit r´ epond
` a cette question.
Lemme 2.10 Par une red´ efinition de l’origine, il est possible de r´ eduire la liste des
transformations isom´ etriques d’un groupe de sym´ etrie de la forme ( A t
0 1 ) avec t non nul
aux transformations de la forme