2.3 La classification
59
0 = (Au, Av) = (γu, ρu + σv) = γρ|u|
2 .
Puisque ni γ ni |u| ne sont nuls, il faut que ρ le soit. Et, `
a nouveau, la derni` ere condition
|Av| = |v| exige que σ = ±1. Donc, la matrice A repr´ esentant l’isom´ etrie dans la base
{u, v} a la forme
γ 0
0 σ
. Puisqu’il y a deux choix pour γ et σ, il y en a quatre pour A.
Ce sont les quatre matrices qui apparaissent dans l’´ enonc´ e.
La composition de deux isom´ etries et l’inverse d’une isom´ etrie sont aussi des
isom´ etries. Ainsi, le sous-ensemble des transformations isom´ etriques du groupe affin
forme lui-mˆ eme un groupe que nous appellerons le groupe des isom´ etries. Enfin, puisque
la composition de deux isom´ etries laissant une frise inchang´ ee laisse elle-mˆ eme la frise
inchang´ ee, l’ensemble de ces transformations isom´ etriques forme un sous-ensemble du
groupe des isom´ etries qui est encore un groupe. D’o` u la d´ efinition suivante.
D´ efinition 2.8 Le groupe de sym´ etrie d’une frise est le groupe de toutes les isom´ etries
qui laissent la frise inchang´ ee.
2.3 Le th´ eor` eme de classification
La formalisation des transformations isom´ etriques permet de dresser une liste
compl` ete des transformations qui peuvent laisser une frise inchang´ ee. ´
Etablir cette liste
sera la premi` ere ´ etape de cette section. La seconde consistera ` a utiliser cette liste pour
´ enum´ erer tous les groupes de sym´ etrie de frise possibles.
Plusieurs isom´ etries ne peuvent pas apparaˆ ıtre dans les groupes de sym´ etrie de frise.
Nous avons d´ ej` a rejet´ e, lors de la preuve du lemme 2.7, les transformations lin´ eaires
qui d´ eformaient la frise ou la tournaient hors de son domaine (la contrainte δ = 0
de cette preuve). Les deux lemmes suivants terminent la caract´ erisation des isom´ etries
pouvant apparaˆ ıtre dans les groupes de sym´ etrie d’une frise. Le lemme suivant d´ ecrit
les translations parall` eles ` a l’axe de la frise.
Lemme 2.9 Le groupe de sym´ etrie de toute frise de p´ eriode L contient les translations
⎛
⎝
1 0 nL
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠ , n ∈ Z,
et ce sont les seules translations de ce groupe.
Preuve La translation
t L =
⎛
⎝
1 0 L
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠
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0 = (Au, Av) = (γu, ρu + σv) = γρ|u|
2 .
Puisque ni γ ni |u| ne sont nuls, il faut que ρ le soit. Et, `
a nouveau, la derni` ere condition
|Av| = |v| exige que σ = ±1. Donc, la matrice A repr´ esentant l’isom´ etrie dans la base
{u, v} a la forme
γ 0
0 σ
. Puisqu’il y a deux choix pour γ et σ, il y en a quatre pour A.
Ce sont les quatre matrices qui apparaissent dans l’´ enonc´ e.
La composition de deux isom´ etries et l’inverse d’une isom´ etrie sont aussi des
isom´ etries. Ainsi, le sous-ensemble des transformations isom´ etriques du groupe affin
forme lui-mˆ eme un groupe que nous appellerons le groupe des isom´ etries. Enfin, puisque
la composition de deux isom´ etries laissant une frise inchang´ ee laisse elle-mˆ eme la frise
inchang´ ee, l’ensemble de ces transformations isom´ etriques forme un sous-ensemble du
groupe des isom´ etries qui est encore un groupe. D’o` u la d´ efinition suivante.
D´ efinition 2.8 Le groupe de sym´ etrie d’une frise est le groupe de toutes les isom´ etries
qui laissent la frise inchang´ ee.
2.3 Le th´ eor` eme de classification
La formalisation des transformations isom´ etriques permet de dresser une liste
compl` ete des transformations qui peuvent laisser une frise inchang´ ee. ´
Etablir cette liste
sera la premi` ere ´ etape de cette section. La seconde consistera ` a utiliser cette liste pour
´ enum´ erer tous les groupes de sym´ etrie de frise possibles.
Plusieurs isom´ etries ne peuvent pas apparaˆ ıtre dans les groupes de sym´ etrie de frise.
Nous avons d´ ej` a rejet´ e, lors de la preuve du lemme 2.7, les transformations lin´ eaires
qui d´ eformaient la frise ou la tournaient hors de son domaine (la contrainte δ = 0
de cette preuve). Les deux lemmes suivants terminent la caract´ erisation des isom´ etries
pouvant apparaˆ ıtre dans les groupes de sym´ etrie d’une frise. Le lemme suivant d´ ecrit
les translations parall` eles ` a l’axe de la frise.
Lemme 2.9 Le groupe de sym´ etrie de toute frise de p´ eriode L contient les translations
⎛
⎝
1 0 nL
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠ , n ∈ Z,
et ce sont les seules translations de ce groupe.
Preuve La translation
t L =
⎛
⎝
1 0 L
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠