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2 Frises et mosa¨ ıques
Lemme 2.7 Soit
A 0
0 1
une sym´ etrie d’une frise qui est une transformation lin´ eaire isom´ etrique. Alors, le bloc
A (2 × 2) est une des quatre matrices suivantes :
1 0
0 1
, r h =
1 0
0 −1
, r v =
−1 0
0 1
et r h r v =
−1 0
0 −1
.
(2.3)
Preuve Une transformation lin´ eaire est compl` etement d´ etermin´ ee par son action sur
une base. Nous choisirons la base {u, v} o` u u et v sont des vecteurs horizontal et vertical
de longueur ´ egale `
a la moiti´ e de la largeur de la frise. Notons que tout point de la frise
peut ˆ etre rep´ er´ e dans cette base et que (x, y) = αu + βv appartient `
a la frise si α ∈ R et
β ∈ [−1, 1]. (La contrainte β ∈ [−1, 1] assure que le point (x, y) est bien dans la frise.)
Le choix de base assure que u ⊥ v, c’est-` a-dire que le produit scalaire des deux vecteurs
de base est nul : (u, v) = 0.
Pour s’assurer que
A 0
0 1
repr´ esente une isom´ etrie, il est suffisant de v´ erifier que
|Au| = |u|,
|Av| = |v|
et
Au ⊥ Av.
(2.4)
En effet, si P et Q sont deux points de la frise et que Q − P = αu + βv est le vecteur
qui les s´ epare, alors, apr` es transformation, ce vecteur sera A(αu + βv), et le carr´ e de sa
longueur (c’est-` a-dire la distance entre les points transform´ es) sera
|A(αu + βv)|
2 = (αAu + βAv, αAu + βAv)
= α
2
|Au|
2 + 2αβ(Au, Av) + β
2
|Av|
2
= α
2
|u|
2 + β
2
|v|
2
= (αu + βv, αu + βv)
= |αu + βv|
2 ,
o` u nous avons utilis´ e, pour obtenir la troisi` eme ´ egalit´ e, les trois relations (2.4) et, pour
la quatri` eme, l’orthogonalit´ e des vecteurs de la base ((u, v) = 0). Ainsi, la distance entre
toute paire de points P et Q sera pr´ eserv´ ee si A satisfait aux relations (2.4). (Exercice :
montrer que ces relations sont ´ egalement n´ ecessaires.)
Soit Au = γu + δv l’image de u par A. Puisque la transformation est lin´ eaire,
A(βu) = β(γu+δv). Si δ est non nul, alors il est possible de prendre β ∈ R suffisamment
grand pour que |βδ| > 1. Ceci veut dire que le point A(βu) repr´ esentera un point en
dehors de la frise. Il faut donc que δ = 0. (En d’autres mots, une transformation A
telle que le facteur δ est non nul est une transformation qui incline la frise hors de
l’horizontale.) Donc, Au = γu et, si |Au| = |u|, il faut que γ = ±1.
Soit maintenant Av = ρu + σv l’image de v par A. Il faut que Au ⊥ Av et donc,
que
2 Frises et mosa¨ ıques
Lemme 2.7 Soit
A 0
0 1
une sym´ etrie d’une frise qui est une transformation lin´ eaire isom´ etrique. Alors, le bloc
A (2 × 2) est une des quatre matrices suivantes :
1 0
0 1
, r h =
1 0
0 −1
, r v =
−1 0
0 1
et r h r v =
−1 0
0 −1
.
(2.3)
Preuve Une transformation lin´ eaire est compl` etement d´ etermin´ ee par son action sur
une base. Nous choisirons la base {u, v} o` u u et v sont des vecteurs horizontal et vertical
de longueur ´ egale `
a la moiti´ e de la largeur de la frise. Notons que tout point de la frise
peut ˆ etre rep´ er´ e dans cette base et que (x, y) = αu + βv appartient `
a la frise si α ∈ R et
β ∈ [−1, 1]. (La contrainte β ∈ [−1, 1] assure que le point (x, y) est bien dans la frise.)
Le choix de base assure que u ⊥ v, c’est-` a-dire que le produit scalaire des deux vecteurs
de base est nul : (u, v) = 0.
Pour s’assurer que
A 0
0 1
repr´ esente une isom´ etrie, il est suffisant de v´ erifier que
|Au| = |u|,
|Av| = |v|
et
Au ⊥ Av.
(2.4)
En effet, si P et Q sont deux points de la frise et que Q − P = αu + βv est le vecteur
qui les s´ epare, alors, apr` es transformation, ce vecteur sera A(αu + βv), et le carr´ e de sa
longueur (c’est-` a-dire la distance entre les points transform´ es) sera
|A(αu + βv)|
2 = (αAu + βAv, αAu + βAv)
= α
2
|Au|
2 + 2αβ(Au, Av) + β
2
|Av|
2
= α
2
|u|
2 + β
2
|v|
2
= (αu + βv, αu + βv)
= |αu + βv|
2 ,
o` u nous avons utilis´ e, pour obtenir la troisi` eme ´ egalit´ e, les trois relations (2.4) et, pour
la quatri` eme, l’orthogonalit´ e des vecteurs de la base ((u, v) = 0). Ainsi, la distance entre
toute paire de points P et Q sera pr´ eserv´ ee si A satisfait aux relations (2.4). (Exercice :
montrer que ces relations sont ´ egalement n´ ecessaires.)
Soit Au = γu + δv l’image de u par A. Puisque la transformation est lin´ eaire,
A(βu) = β(γu+δv). Si δ est non nul, alors il est possible de prendre β ∈ R suffisamment
grand pour que |βδ| > 1. Ceci veut dire que le point A(βu) repr´ esentera un point en
dehors de la frise. Il faut donc que δ = 0. (En d’autres mots, une transformation A
telle que le facteur δ est non nul est une transformation qui incline la frise hors de
l’horizontale.) Donc, Au = γu et, si |Au| = |u|, il faut que γ = ±1.
Soit maintenant Av = ρu + σv l’image de v par A. Il faut que Au ⊥ Av et donc,
que