2.2 Groupe de sym´ etrie et transformation affine
57
⎛
⎝ r v
0
0
0 0 1
⎞
⎠ ,
o` u r v =
−1 0
0 1
,
si l’origine est sur un miroir. (Exercice : vous convaincre de ces ´ enonc´ es !) Notons enfin
que
r h r v =
1 0
0 −1
−1 0
0 1
=
−1 0
0 −1
.
Nous retrouvons l’observation que nous avons d´ ej` a faite : une rotation d’un angle π (ou
de 180
◦ ) peut ˆ etre obtenue par composition d’une r´ eflexion par rapport `
a un axe vertical
et d’une r´ eflexion par rapport `
a un axe horizontal. (Exercice : d´ eterminer les matrices
3 × 3 qui repr´ esentent la translation t L et la sym´ etrie gliss´ ee s g .)
Fig. 2.4. Le syst` eme de coordonn´ ees
Notre d´ efinition de transformation affine en fait une fonction de R
2
→ R
2 . Nous
voulons cependant ´ etudier les transformations qui laissent une frise invariante. Ceci
restreindra donc l’ensemble des transformations affines. Une seconde restriction sera
faite qui pr´ ecise, en fait, les frises que nous ´ etudions.
D´ efinition 2.5 Une isom´ etrie du plan (ou d’une r´ egion du plan) est une fonction T :
R
2
→ R
2 (ou T : F ⊂ R
2
→ R
2 ) qui pr´ eserve les longueurs. Ainsi, si (x 1 , y 1 ) et (x 2 , y 2 )
sont deux points du plan, alors la distance entre ces points est ´ egale `
a celle entre leurs
images T (x 1 , y 1 ) et T (x 2 , y 2 ).
D´ efinition 2.6 Une sym´ etrie d’une frise est une isom´ etrie qui envoie la frise sur la
frise.
L’exercice 9 d´ emontrera que toute isom´ etrie est une transformation affine. Le
lemme 2.7 montre que cette restriction aux transformations affines isom´ etriques limite
grandement les possibilit´ es pour les transformations lin´ eaires A.
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⎛
⎝ r v
0
0
0 0 1
⎞
⎠ ,
o` u r v =
−1 0
0 1
,
si l’origine est sur un miroir. (Exercice : vous convaincre de ces ´ enonc´ es !) Notons enfin
que
r h r v =
1 0
0 −1
−1 0
0 1
=
−1 0
0 −1
.
Nous retrouvons l’observation que nous avons d´ ej` a faite : une rotation d’un angle π (ou
de 180
◦ ) peut ˆ etre obtenue par composition d’une r´ eflexion par rapport `
a un axe vertical
et d’une r´ eflexion par rapport `
a un axe horizontal. (Exercice : d´ eterminer les matrices
3 × 3 qui repr´ esentent la translation t L et la sym´ etrie gliss´ ee s g .)
Fig. 2.4. Le syst` eme de coordonn´ ees
Notre d´ efinition de transformation affine en fait une fonction de R
2
→ R
2 . Nous
voulons cependant ´ etudier les transformations qui laissent une frise invariante. Ceci
restreindra donc l’ensemble des transformations affines. Une seconde restriction sera
faite qui pr´ ecise, en fait, les frises que nous ´ etudions.
D´ efinition 2.5 Une isom´ etrie du plan (ou d’une r´ egion du plan) est une fonction T :
R
2
→ R
2 (ou T : F ⊂ R
2
→ R
2 ) qui pr´ eserve les longueurs. Ainsi, si (x 1 , y 1 ) et (x 2 , y 2 )
sont deux points du plan, alors la distance entre ces points est ´ egale `
a celle entre leurs
images T (x 1 , y 1 ) et T (x 2 , y 2 ).
D´ efinition 2.6 Une sym´ etrie d’une frise est une isom´ etrie qui envoie la frise sur la
frise.
L’exercice 9 d´ emontrera que toute isom´ etrie est une transformation affine. Le
lemme 2.7 montre que cette restriction aux transformations affines isom´ etriques limite
grandement les possibilit´ es pour les transformations lin´ eaires A.