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2 Frises et mosa¨ ıques
La structure math´ ematique de groupe joue ´ egalement un rˆ ole important dans d’autres
chapitres. Voir, par exemple, les sections 1.4 et 7.4.
Proposition 2.4 L’ensemble des matrices repr´ esentant les transformations affines propres forme un groupe sous la multiplication matricielle. L’ensemble des transformations
affines propres forme ´ egalement un groupe lorsque l’op´ eration multiplicative est la composition. Ce dernier est appel´ e le groupe affin.
Preuve Une matrice
B =
A t
0 1
repr´ esentant une transformation affine propre est telle que A est une matrice 2 × 2
inversible et donc, que la matrice B associ´ ee est elle-mˆ eme inversible. ´
Etant du mˆ eme
type, B
−1 repr´ esente ´ egalement une transformation affine propre, et la condition (iii) est
donc v´ erifi´ ee. La propri´ et´ e (i) n’est que l’associativit´ e de la multiplication matricielle, et
la propri´ et´ e (ii) est v´ erifi´ ee puisque la matrice identit´ e (le neutre multiplicatif) repr´ esente
la transformation affine suivante :
⎛
⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠
←→
x
= x,
y
= y.
Donc, l’ensemble des matrices repr´ esentant les transformations affines propres forme
un groupe. Nous avons d´ ej` a constat´ e qu’il y a une correspondance biunivoque entre
les matrices et les transformations. De plus, la composition de transformations affines
correspond ` a la multiplication matricielle dans cette correspondance. La v´ erification
ci-dessus s’´ etend donc ` a l’ensemble des transformations affines propres.
Nous avons introduit plus tˆ ot les r´ eflexions par rapport `
a des miroirs horizontal
et vertical et, `
a titre d’exemple, nous allons en obtenir la repr´ esentation matricielle.
Pour d´ efinir ces matrices, nous devons fixer l’origine. Nous la placerons toujours `
a ´ egale
distance entre les extr´ emit´ es sup´ erieure et inf´ erieure de la frise. (Voir la figure 2.4.) Ceci
laisse tout de mˆ eme un choix ´ enorme pour l’origine : tout point sur l’axe horizontal au
centre de la frise est possible. (Nous avons d´ ej` a soulign´ e cette libert´ e lors de l’examen
du miroir par rapport `
a un axe vertical. Nous utiliserons cette grande libert´ e dans la
d´ emonstration du lemme 2.10.) Cette origine fix´ ee, la r´ eflexion dans un miroir horizontal
qui ´ echange le haut et le bas (c’est-` a-dire qui ´ echange le demi-axe vertical positif avec
le demi-axe n´ egatif) est
⎛
⎝ r h
0
0
0 0 1
⎞
⎠ ,
o` u r h =
1 0
0 −1
,
et la r´ eflexion dans un miroir vertical qui ´ echange la gauche et la droite est
2 Frises et mosa¨ ıques
La structure math´ ematique de groupe joue ´ egalement un rˆ ole important dans d’autres
chapitres. Voir, par exemple, les sections 1.4 et 7.4.
Proposition 2.4 L’ensemble des matrices repr´ esentant les transformations affines propres forme un groupe sous la multiplication matricielle. L’ensemble des transformations
affines propres forme ´ egalement un groupe lorsque l’op´ eration multiplicative est la composition. Ce dernier est appel´ e le groupe affin.
Preuve Une matrice
B =
A t
0 1
repr´ esentant une transformation affine propre est telle que A est une matrice 2 × 2
inversible et donc, que la matrice B associ´ ee est elle-mˆ eme inversible. ´
Etant du mˆ eme
type, B
−1 repr´ esente ´ egalement une transformation affine propre, et la condition (iii) est
donc v´ erifi´ ee. La propri´ et´ e (i) n’est que l’associativit´ e de la multiplication matricielle, et
la propri´ et´ e (ii) est v´ erifi´ ee puisque la matrice identit´ e (le neutre multiplicatif) repr´ esente
la transformation affine suivante :
⎛
⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞
⎠
←→
x
= x,
y
= y.
Donc, l’ensemble des matrices repr´ esentant les transformations affines propres forme
un groupe. Nous avons d´ ej` a constat´ e qu’il y a une correspondance biunivoque entre
les matrices et les transformations. De plus, la composition de transformations affines
correspond ` a la multiplication matricielle dans cette correspondance. La v´ erification
ci-dessus s’´ etend donc ` a l’ensemble des transformations affines propres.
Nous avons introduit plus tˆ ot les r´ eflexions par rapport `
a des miroirs horizontal
et vertical et, `
a titre d’exemple, nous allons en obtenir la repr´ esentation matricielle.
Pour d´ efinir ces matrices, nous devons fixer l’origine. Nous la placerons toujours `
a ´ egale
distance entre les extr´ emit´ es sup´ erieure et inf´ erieure de la frise. (Voir la figure 2.4.) Ceci
laisse tout de mˆ eme un choix ´ enorme pour l’origine : tout point sur l’axe horizontal au
centre de la frise est possible. (Nous avons d´ ej` a soulign´ e cette libert´ e lors de l’examen
du miroir par rapport `
a un axe vertical. Nous utiliserons cette grande libert´ e dans la
d´ emonstration du lemme 2.10.) Cette origine fix´ ee, la r´ eflexion dans un miroir horizontal
qui ´ echange le haut et le bas (c’est-` a-dire qui ´ echange le demi-axe vertical positif avec
le demi-axe n´ egatif) est
⎛
⎝ r h
0
0
0 0 1
⎞
⎠ ,
o` u r h =
1 0
0 −1
,
et la r´ eflexion dans un miroir vertical qui ´ echange la gauche et la droite est