2.2 Groupe de sym´ etrie et transformation affine
55
matricielle. Le probl` eme g´ eom´ etrique est donc remplac´ e par un probl` eme matriciel. `
A
cause de cette correspondance, nous utiliserons souvent la repr´ esentation matricielle
pour parler d’une transformation affine. Il faut cependant noter qu’une transformation affine peut ˆ etre d´ efinie sans recours ` a un syst` eme de coordonn´ ees, mais que sa
repr´ esentation matricielle n’existe que lorsqu’un tel syst` eme a ´ et´ e choisi.
Pour montrer la puissance de la repr´ esentation matricielle, nous calculerons l’inverse d’une transformation affine propre. Cet inverse est la transformation qui associe
(x
, y
) → (x, y) o` u x
= ax + by + p et y
= cx + dy + q. Puisque la composition des
transformations affines est repr´ esent´ ee par la multiplication matricielle, il faut que la
transformation affine inverse soit repr´ esent´ ee par l’inverse matriciel, qui est ais´ ement
calcul´ e :
⎛
⎝
d/D −b/D (−dp + bq)/D
−c/D a/D
(cp − aq)/D
0
0
1
⎞
⎠ ,
o` u D = det
a b
c d
= ad − bc. C’est encore la matrice d’une transformation affine propre.
(Exercice : que devez-vous v´ erifier pour vous assurer qu’elle est propre ? Faites-le. Cet
exercice confirme l’affirmation faite plus tˆ ot : une transformation affine est propre si et
seulement si la matrice
a b
c d
associ´ ee est inversible.) Si on ´ ecrit la matrice repr´ esentant
la transformation affine originale sous la forme
B =
A t
0 1
,
o` u
A =
a b
c d
,
0 =
0 0
et
t =
p
q
,
alors son inverse peut ˆ etre ´ ecrit comme
B
−1 =
A t
0 1
−1
=
A
−1
−A
−1 t
0
1
.
Notons que B
−1 est du mˆ eme type que B, c’est-` a-dire que sa troisi` eme ligne est
0 0 1
et que la partie transformation lin´ eaire (A
−1 ) est aussi inversible.
L’ensemble des transformations affines propres forme un groupe.
D´ efinition 2.3 Un ensemble E muni d’une op´ eration multiplicative E × E → E est un
groupe si l’op´ eration satisfait aux propri´ et´ es suivantes :
i) associativit´ e : (ab)c = a(bc),
∀a, b, c ∈ E ;
ii) existence d’un ´ el´ ement neutre : il existe un ´ el´ ement e ∈ E tel que ea = ae = a,
∀a ∈ E ;
iii) existence d’´ el´ ements inverses : ∀a ∈ E, ∃b ∈ E tel que ab = ba = e.
L’inverse de l’´ el´ ement a est habituellement not´ e a
−1 .
55
matricielle. Le probl` eme g´ eom´ etrique est donc remplac´ e par un probl` eme matriciel. `
A
cause de cette correspondance, nous utiliserons souvent la repr´ esentation matricielle
pour parler d’une transformation affine. Il faut cependant noter qu’une transformation affine peut ˆ etre d´ efinie sans recours ` a un syst` eme de coordonn´ ees, mais que sa
repr´ esentation matricielle n’existe que lorsqu’un tel syst` eme a ´ et´ e choisi.
Pour montrer la puissance de la repr´ esentation matricielle, nous calculerons l’inverse d’une transformation affine propre. Cet inverse est la transformation qui associe
(x
, y
) → (x, y) o` u x
= ax + by + p et y
= cx + dy + q. Puisque la composition des
transformations affines est repr´ esent´ ee par la multiplication matricielle, il faut que la
transformation affine inverse soit repr´ esent´ ee par l’inverse matriciel, qui est ais´ ement
calcul´ e :
⎛
⎝
d/D −b/D (−dp + bq)/D
−c/D a/D
(cp − aq)/D
0
0
1
⎞
⎠ ,
o` u D = det
a b
c d
= ad − bc. C’est encore la matrice d’une transformation affine propre.
(Exercice : que devez-vous v´ erifier pour vous assurer qu’elle est propre ? Faites-le. Cet
exercice confirme l’affirmation faite plus tˆ ot : une transformation affine est propre si et
seulement si la matrice
a b
c d
associ´ ee est inversible.) Si on ´ ecrit la matrice repr´ esentant
la transformation affine originale sous la forme
B =
A t
0 1
,
o` u
A =
a b
c d
,
0 =
0 0
et
t =
p
q
,
alors son inverse peut ˆ etre ´ ecrit comme
B
−1 =
A t
0 1
−1
=
A
−1
−A
−1 t
0
1
.
Notons que B
−1 est du mˆ eme type que B, c’est-` a-dire que sa troisi` eme ligne est
0 0 1
et que la partie transformation lin´ eaire (A
−1 ) est aussi inversible.
L’ensemble des transformations affines propres forme un groupe.
D´ efinition 2.3 Un ensemble E muni d’une op´ eration multiplicative E × E → E est un
groupe si l’op´ eration satisfait aux propri´ et´ es suivantes :
i) associativit´ e : (ab)c = a(bc),
∀a, b, c ∈ E ;
ii) existence d’un ´ el´ ement neutre : il existe un ´ el´ ement e ∈ E tel que ea = ae = a,
∀a ∈ E ;
iii) existence d’´ el´ ements inverses : ∀a ∈ E, ∃b ∈ E tel que ab = ba = e.
L’inverse de l’´ el´ ement a est habituellement not´ e a
−1 .