54
2 Frises et mosa¨ ıques
⎛
⎝
a b p
c d q
0 0 1
⎞
⎠
dont la troisi` eme ligne est (0 0 1) est aussi biunivoque.
Si on compose deux transformations affines (x, y) → (x
, y
) et (x
, y
) → (x
, y
)
donn´ ees par
x
= a 1 x + b 1 y + p 1 ,
y
= c 1 x + d 1 y + q 1 ,
et
x
= a 2 x
+ b 2 y
+ p 2 ,
y
= c 2 x
+ d 2 y
+ q 2 ,
le r´ esultat sur (x, y) peut ˆ etre obtenu comme suit
x
= a 2 x
+ b 2 y
+ p 2
= a 2 (a 1 x + b 1 y + p 1 ) + b 2 (c 1 x + d 1 y + q 1 ) + p 2
= (a 2 a 1 + b 2 c 1 )x + (a 2 b 1 + b 2 d 1 )y + (a 2 p 1 + b 2 q 1 + p 2 )
et
y
= c 2 x
+ d 2 y
+ q 2
= c 2 (a 1 x + b 1 y + p 1 ) + d 2 (c 1 x + d 1 y + q 1 ) + q 2
= (c 2 a 1 + d 2 c 1 )x + (c 2 b 1 + d 2 d 1 )y + (c 2 p 1 + d 2 q 1 + q 2 ).
Notons qu’` a nouveau, cette transformation peut ˆ etre ´ ecrite sous forme de produit matriciel ` a l’aide d’une matrice 3 × 3
⎛
⎝
x
y
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
a 2 a 1 + b 2 c 1 a 2 b 1 + b 2 d 1 a 2 p 1 + b 2 q 1 + p 2
c 2 a 1 + d 2 c 1 c 2 b 1 + d 2 d 1 c 2 p 1 + d 2 q 1 + q 2
0
0
1
⎞
⎠
⎛
⎝
x
y
1
⎞
⎠ .
Cette derni` ere ´ ecriture r´ ev` ele la puissance de la notation matricielle, car le produit
des deux matrices 3 × 3 repr´ esentant les deux transformations affines originales est
pr´ ecis´ ement la matrice ci-dessus :
⎛
⎝
a 2 b 2 p 2
c 2 d 2 q 2
0 0 1
⎞
⎠
⎛
⎝
a 1 b 1 p 1
c 1 d 1 q 1
0 0 1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
a 2 a 1 + b 2 c 1 a 2 b 1 + b 2 d 1 a 2 p 1 + b 2 q 1 + p 2
c 2 a 1 + d 2 c 1 c 2 b 1 + d 2 d 1 c 2 p 1 + d 2 q 1 + q 2
0
0
1
⎞
⎠ .
Cette propri´ et´ e remarquable permet d’´ etudier les transformations affines et leur composition ` a l’aide de cette repr´ esentation matricielle 3 × 3 et de la simple multiplication