2.2 Groupe de sym´ etrie et transformation affine
53
des dix listes de g´ en´ erateurs. Nous venons de donner l’argument pour rejeter la liste 8.
Deux autres listes doivent donc encore ˆ etre rejet´ ees. Pouvez-vous dire lesquelles ?)
Nous compl´ eterons la preuve du th´ eor` eme de classification apr` es avoir introduit un
puissant outil alg´ ebrique pour ´ etudier ces op´ erations g´ eom´ etriques : la repr´ esentation
matricielle des transformations affines
1 .
2.2 Groupe de sym´ etrie et transformation affine
La repr´ esentation matricielle des transformations affines est l’outil math´ ematique
que nous utiliserons pour d´ ecrire les op´ erations laissant les frises invariantes. (Si vous
avez lu les chapitres 3 ou 11, vous avez d´ ej` a rencontr´ e les transformations affines.)
D´ efinition 2.2 Une transformation affine du plan est une transformation R
2
→ R
2 de
la forme (x, y) → (x
, y
) telle que
x
= ax + by + p,
y
= cx + dy + q.
Une transformation affine est dite propre si elle est bijective.
Cette transformation peut ˆ etre ´ ecrite sous forme matricielle
x
y
=
a b
c d
x
y
+
p
q
.
(2.1)
La matrice
a b
c d
est une transformation lin´ eaire, et les p et q repr´ esentent les translations dans les directions x et y respectivement. Dans ce qui suit, nous ne consid´ erons que
des transformations affines propres (ou r´ eguli` eres), c’est-` a-dire les transformations affines bijectives. Comme nous le verrons sous peu, cette propri´ et´ e suppl´ ementaire ajoute
la condition d’inversibilit´ e de la transformation lin´ eaire
a b
c d
. Remarquons que la notation matricielle suivante d´ ecrit la mˆ eme transformation affine :
⎛
⎝
x
y
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
a b p
c d q
0 0 1
⎞
⎠
⎛
⎝
x
y
1
⎞
⎠ .
(2.2)
Dans cette nouvelle forme, une correspondance biunivoque est faite entre les ´ el´ ements
(x, y) du plan R
2 et les ´ el´ ements (x, y, 1)
t du plan bidimensionnel dans R
3 constitu´ e des
points dont la troisi` eme composante est 1. La correspondance entre les transformations
affines (2.1) et les matrices 3 × 3
1 Il est possible de donner une preuve purement g´ eom´ etrique du th´ eor` eme de classification.
Voir, par exemple, [2] ou [4].
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des dix listes de g´ en´ erateurs. Nous venons de donner l’argument pour rejeter la liste 8.
Deux autres listes doivent donc encore ˆ etre rejet´ ees. Pouvez-vous dire lesquelles ?)
Nous compl´ eterons la preuve du th´ eor` eme de classification apr` es avoir introduit un
puissant outil alg´ ebrique pour ´ etudier ces op´ erations g´ eom´ etriques : la repr´ esentation
matricielle des transformations affines
1 .
2.2 Groupe de sym´ etrie et transformation affine
La repr´ esentation matricielle des transformations affines est l’outil math´ ematique
que nous utiliserons pour d´ ecrire les op´ erations laissant les frises invariantes. (Si vous
avez lu les chapitres 3 ou 11, vous avez d´ ej` a rencontr´ e les transformations affines.)
D´ efinition 2.2 Une transformation affine du plan est une transformation R
2
→ R
2 de
la forme (x, y) → (x
, y
) telle que
x
= ax + by + p,
y
= cx + dy + q.
Une transformation affine est dite propre si elle est bijective.
Cette transformation peut ˆ etre ´ ecrite sous forme matricielle
x
y
=
a b
c d
x
y
+
p
q
.
(2.1)
La matrice
a b
c d
est une transformation lin´ eaire, et les p et q repr´ esentent les translations dans les directions x et y respectivement. Dans ce qui suit, nous ne consid´ erons que
des transformations affines propres (ou r´ eguli` eres), c’est-` a-dire les transformations affines bijectives. Comme nous le verrons sous peu, cette propri´ et´ e suppl´ ementaire ajoute
la condition d’inversibilit´ e de la transformation lin´ eaire
a b
c d
. Remarquons que la notation matricielle suivante d´ ecrit la mˆ eme transformation affine :
⎛
⎝
x
y
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
a b p
c d q
0 0 1
⎞
⎠
⎛
⎝
x
y
1
⎞
⎠ .
(2.2)
Dans cette nouvelle forme, une correspondance biunivoque est faite entre les ´ el´ ements
(x, y) du plan R
2 et les ´ el´ ements (x, y, 1)
t du plan bidimensionnel dans R
3 constitu´ e des
points dont la troisi` eme composante est 1. La correspondance entre les transformations
affines (2.1) et les matrices 3 × 3
1 Il est possible de donner une preuve purement g´ eom´ etrique du th´ eor` eme de classification.
Voir, par exemple, [2] ou [4].