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2 Frises et mosa¨ ıques
r h , r v et r h r v , alors ils incluent les trois. Nous pouvons donc dresser la liste d’ensembles
de g´ en´ erateurs suivante.
1. t L
2. t L , r v
3. t L , r h
4. t L , s g
5. t L , r h r v
6. t L , s g , r h r v
7. t L , r h , r v
8. t L , s g , r h
9. t L , s g , r v
10. t L , s g , r h , r v
Comme nous l’avons dit, chacun de ces ensembles contient la translation t L . Les ensembles 1 et 4 ne contiennent aucun des g´ en´ erateurs r h , r v et r h r v . Les ensembles 2,
3, 5, 6, 8 et 9 contiennent un et un seul des g´ en´ erateurs r h , r v et r h r v ; les ensembles
6, 8, 9 contiennent ´ egalement la sym´ etrie gliss´ ee s g , mais les ensembles 2, 3, 5 ne la
contiennent pas. Les ensembles 7 et 10 contiennent deux des g´ en´ erateurs r h , r v et r h r v
(et donc les trois), sans et avec la sym´ etrie gliss´ ee s g respectivement. Voici donc la liste
compl` ete des ensembles possibles, si la liste des g´ en´ erateurs pouvant apparaˆ ıtre est bien
{t L , r h , r v , r h r v , s g }.
Le th´ eor` eme de classification devra faire face ` a deux autres questions. La premi` ere est
la suivante : y a-t-il des r´ ep´ etitions dans la liste ci-dessus ? Puisque nous avons choisi de
ne dresser que la liste d’ensembles de g´ en´ erateurs, il se peut bien que certains ensembles
g´ en` erent la mˆ eme liste de sym´ etries. La seconde est : y a-t-il des ensembles parmi ceux
de la liste ci-dessus qui ne sont pas des ensembles de g´ en´ erateurs pour des frises de
p´ eriode L ? Cette derni` ere question peut sembler surprenante. Mais nous pouvons y
r´ epondre partiellement imm´ ediatement : l’ensemble 8 n’engendre pas un ensemble de
sym´ etries d’une frise de p´ eriode L ! En voici la raison.
Il est crucial de se rappeler que la sym´ etrie gliss´ ee s g est la composition de r h et de
t L/2 . On peut en d´ eduire ais´ ement que, pour une frise de p´ eriode L, il est impossible que
s g et r h soient toutes les deux des sym´ etries de cette frise. Pourquoi ? Nous avons observ´ e
que l’inverse de l’op´ eration r h est l’op´ eration r h elle-mˆ eme. On en d´ eduit que s g r h =
t L/2 r h r h = t L/2 (id) = t L/2 . Puisque la composition de sym´ etries est une sym´ etrie, la
translation t L/2 devrait ˆ etre ´ egalement une sym´ etrie de la frise. Mais la p´ eriode de
cette frise est L et, par d´ efinition de p´ eriode, la translation d’une distance L est la plus
courte qui laisse la frise inchang´ ee. Donc t L/2 ne peut ˆ etre une sym´ etrie, et s g et r h ne
peuvent ˆ etre simultan´ ement pr´ esents dans l’ensemble des sym´ etries. Donc, l’ensemble 8
devra ˆ etre rejet´ e. (Notez que cet ensemble engendre le mˆ eme ensemble de sym´ etries que
l’ensemble de g´ en´ erateurs t L/2 , r h , c’est-` a-dire l’ensemble 3 de la liste ci-dessus pour
les frises de p´ eriode L/2.) (Exercice : le th´ eor` eme de classification ne gardera que sept
2 Frises et mosa¨ ıques
r h , r v et r h r v , alors ils incluent les trois. Nous pouvons donc dresser la liste d’ensembles
de g´ en´ erateurs suivante.
1. t L
2. t L , r v
3. t L , r h
4. t L , s g
5. t L , r h r v
6. t L , s g , r h r v
7. t L , r h , r v
8. t L , s g , r h
9. t L , s g , r v
10. t L , s g , r h , r v
Comme nous l’avons dit, chacun de ces ensembles contient la translation t L . Les ensembles 1 et 4 ne contiennent aucun des g´ en´ erateurs r h , r v et r h r v . Les ensembles 2,
3, 5, 6, 8 et 9 contiennent un et un seul des g´ en´ erateurs r h , r v et r h r v ; les ensembles
6, 8, 9 contiennent ´ egalement la sym´ etrie gliss´ ee s g , mais les ensembles 2, 3, 5 ne la
contiennent pas. Les ensembles 7 et 10 contiennent deux des g´ en´ erateurs r h , r v et r h r v
(et donc les trois), sans et avec la sym´ etrie gliss´ ee s g respectivement. Voici donc la liste
compl` ete des ensembles possibles, si la liste des g´ en´ erateurs pouvant apparaˆ ıtre est bien
{t L , r h , r v , r h r v , s g }.
Le th´ eor` eme de classification devra faire face ` a deux autres questions. La premi` ere est
la suivante : y a-t-il des r´ ep´ etitions dans la liste ci-dessus ? Puisque nous avons choisi de
ne dresser que la liste d’ensembles de g´ en´ erateurs, il se peut bien que certains ensembles
g´ en` erent la mˆ eme liste de sym´ etries. La seconde est : y a-t-il des ensembles parmi ceux
de la liste ci-dessus qui ne sont pas des ensembles de g´ en´ erateurs pour des frises de
p´ eriode L ? Cette derni` ere question peut sembler surprenante. Mais nous pouvons y
r´ epondre partiellement imm´ ediatement : l’ensemble 8 n’engendre pas un ensemble de
sym´ etries d’une frise de p´ eriode L ! En voici la raison.
Il est crucial de se rappeler que la sym´ etrie gliss´ ee s g est la composition de r h et de
t L/2 . On peut en d´ eduire ais´ ement que, pour une frise de p´ eriode L, il est impossible que
s g et r h soient toutes les deux des sym´ etries de cette frise. Pourquoi ? Nous avons observ´ e
que l’inverse de l’op´ eration r h est l’op´ eration r h elle-mˆ eme. On en d´ eduit que s g r h =
t L/2 r h r h = t L/2 (id) = t L/2 . Puisque la composition de sym´ etries est une sym´ etrie, la
translation t L/2 devrait ˆ etre ´ egalement une sym´ etrie de la frise. Mais la p´ eriode de
cette frise est L et, par d´ efinition de p´ eriode, la translation d’une distance L est la plus
courte qui laisse la frise inchang´ ee. Donc t L/2 ne peut ˆ etre une sym´ etrie, et s g et r h ne
peuvent ˆ etre simultan´ ement pr´ esents dans l’ensemble des sym´ etries. Donc, l’ensemble 8
devra ˆ etre rejet´ e. (Notez que cet ensemble engendre le mˆ eme ensemble de sym´ etries que
l’ensemble de g´ en´ erateurs t L/2 , r h , c’est-` a-dire l’ensemble 3 de la liste ci-dessus pour
les frises de p´ eriode L/2.) (Exercice : le th´ eor` eme de classification ne gardera que sept