2.1 Frises et sym´ etries
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Fig. 2.3. La sym´ etrie gliss´ ee. La frise 4 telle qu’on la retrouve ` a la figure 2.2 (en haut), la
mˆ eme frise apr` es l’op´ eration r h (au centre), puis apr` es la translation d’une demi-p´ eriode (en
bas).
La sym´ etrie gliss´ ee s g = t L/2 r h Cette derni` ere proposition nous permet de tracer un
premier bilan : chacun des quatre g´ en´ erateurs t L , r h , r v et r h r v est une sym´ etrie d’au
moins une frise. De plus, chacun des trois r h , r v et r h r v est absent des sym´ etries d’au
moins une frise. Un coup d’œil ` a la frise 4 nous montre que cette liste ne suffit pas. Aucun
des trois g´ en´ erateurs r h , r v et r h r v n’est une sym´ etrie de cette frise. Cependant, une
r´ eflexion r h suivie d’une translation d’une demi-p´ eriode
L
2 laisse cette frise invariante,
comme on peut ais´ ement le constater ` a la figure 2.3 ! (Attention : les barres verticales
d´ elimitant les p´ eriodes ne font pas partie du patron.) Nous allons nommer cette nouvelle
op´ eration s g pour sym´ etrie gliss´ ee. En utilisant la notion de composition, nous pouvons
´ ecrire s g = t L/2 r h . (Exercice : une seule autre frise parmi les sept de la figure 2.2 poss` ede
s g parmi ses g´ en´ erateurs. Laquelle ?)
Vers le th´ eor` eme de classification Nous avons maintenant identifi´ e cinq g´ en´ erateurs (t L , r h , r v , r h r v , s g ) ` a partir de l’observation des sept frises de la figure 2.2. Pour
obtenir une liste compl` ete des ensembles de sym´ etrie des frises, nous devons avoir une
liste de tous les g´ en´ erateurs possibles. Or, nous avons d´ ecouvert les cinq de notre liste
en observant sept exemples bien particuliers de frises. Y a-t-il une frise autre que ces
sept-l` a qui nous am` enerait `
a allonger cette liste ? Existe-t-il d’autres g´ en´ erateurs que
les cinq que nous avons d´ ecouverts ? Ce sont les premi` eres questions auxquelles nous
devrons r´ epondre avant de d´ emontrer le th´ eor` eme de classification.
Si nous admettons que cette liste est compl` ete, nous pouvons alors ´ enum´ erer les ensembles de sym´ etrie potentiels pour les frises de p´ eriode L. Nous le ferons en ´ enum´ erant
une liste de g´ en´ erateurs. Par la d´ efinition de frise, les sym´ etries incluent toujours la
translation t L d’une p´ eriode L et aucune autre translation d’une distance inf´ erieure.
Nous savons de plus que, si les g´ en´ erateurs d’une frise incluent deux des trois op´ erations
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Fig. 2.3. La sym´ etrie gliss´ ee. La frise 4 telle qu’on la retrouve ` a la figure 2.2 (en haut), la
mˆ eme frise apr` es l’op´ eration r h (au centre), puis apr` es la translation d’une demi-p´ eriode (en
bas).
La sym´ etrie gliss´ ee s g = t L/2 r h Cette derni` ere proposition nous permet de tracer un
premier bilan : chacun des quatre g´ en´ erateurs t L , r h , r v et r h r v est une sym´ etrie d’au
moins une frise. De plus, chacun des trois r h , r v et r h r v est absent des sym´ etries d’au
moins une frise. Un coup d’œil ` a la frise 4 nous montre que cette liste ne suffit pas. Aucun
des trois g´ en´ erateurs r h , r v et r h r v n’est une sym´ etrie de cette frise. Cependant, une
r´ eflexion r h suivie d’une translation d’une demi-p´ eriode
L
2 laisse cette frise invariante,
comme on peut ais´ ement le constater ` a la figure 2.3 ! (Attention : les barres verticales
d´ elimitant les p´ eriodes ne font pas partie du patron.) Nous allons nommer cette nouvelle
op´ eration s g pour sym´ etrie gliss´ ee. En utilisant la notion de composition, nous pouvons
´ ecrire s g = t L/2 r h . (Exercice : une seule autre frise parmi les sept de la figure 2.2 poss` ede
s g parmi ses g´ en´ erateurs. Laquelle ?)
Vers le th´ eor` eme de classification Nous avons maintenant identifi´ e cinq g´ en´ erateurs (t L , r h , r v , r h r v , s g ) ` a partir de l’observation des sept frises de la figure 2.2. Pour
obtenir une liste compl` ete des ensembles de sym´ etrie des frises, nous devons avoir une
liste de tous les g´ en´ erateurs possibles. Or, nous avons d´ ecouvert les cinq de notre liste
en observant sept exemples bien particuliers de frises. Y a-t-il une frise autre que ces
sept-l` a qui nous am` enerait `
a allonger cette liste ? Existe-t-il d’autres g´ en´ erateurs que
les cinq que nous avons d´ ecouverts ? Ce sont les premi` eres questions auxquelles nous
devrons r´ epondre avant de d´ emontrer le th´ eor` eme de classification.
Si nous admettons que cette liste est compl` ete, nous pouvons alors ´ enum´ erer les ensembles de sym´ etrie potentiels pour les frises de p´ eriode L. Nous le ferons en ´ enum´ erant
une liste de g´ en´ erateurs. Par la d´ efinition de frise, les sym´ etries incluent toujours la
translation t L d’une p´ eriode L et aucune autre translation d’une distance inf´ erieure.
Nous savons de plus que, si les g´ en´ erateurs d’une frise incluent deux des trois op´ erations