50
2 Frises et mosa¨ ıques
par la r´ eflexion soit la frise. Il n’en est pas de mˆ eme des r´ eflexions par un miroir vertical.
La position d’un miroir vertical doit, elle, ˆ etre choisie selon le patron de la frise. La frise
2 (la seconde de la figure 2.2), par exemple, poss` ede une infinit´ e de miroirs verticaux.
Tous les miroirs situ´ es en chacun des segments verticaux qui indiquent la p´ eriodicit´ e
du patron laissent la frise inchang´ ee. Ces miroirs sont d´ ej` a en nombre infini. Mais il
y en a un autre ensemble infini : les miroirs situ´ es pr´ ecis´ ement ` a mi-chemin entre ces
mˆ emes segments verticaux. Nous verrons ` a l’exercice 7 que, si une frise de p´ eriode L
est inchang´ ee sous la r´ eflexion par rapport `
a un miroir vertical, elle l’est ´ egalement par
rapport `
a une infinit´ e d’autres miroirs verticaux, tous `
a distance n
L
2 du premier, o` u n est
un entier (∈ Z). La notation r v sous-entend donc un choix donn´ e pour la position d’un
miroir vertical et tous ses translat´ es par un multiple entier de
L
2 . (Exercice : identifier
quelles autres frises de la figure sont inchang´ ees sous un miroir vertical.)
Notation La composition d’op´ erations de sym´ etrie sera utilis´ ee souvent, et nous omettrons le symbole « ◦ » par la suite. Ainsi r h ◦ r v sera simplement not´ e r h r v . Nous verrons
´ egalement que l’ordre des op´ erations est important. Elles sont not´ ees de droite ` a gauche ;
ainsi la composition r h r v d´ enote l’op´ eration r v suivie de r h .
La rotation r h r v La frise 5 nous force ` a introduire un nouveau g´ en´ erateur dans
notre liste. Elle ne poss` ede ni r h ni r v comme sym´ etrie, mais si r v , puis r h lui sont
appliqu´ ees (avec le miroir de r v le long d’un des segments verticaux), la frise demeure
invariante. (Exercice : le v´ erifier !) Donc, il peut se produire que ni r h ni r v ne soient
des g´ en´ erateurs, mais que leur composition (r h r v ) le soit. Ce g´ en´ erateur r h r v obtenu
de deux r´ eflexions est une rotation de 180
◦ . Pour s’en convaincre, il suffit de remarquer
que r h r v ´ echange simultan´ ement le haut et le bas, ainsi que la gauche et la droite, sans
alt´ erer les distances. (En termes d’un syst` eme de coordonn´ ees dont l’origine est situ´ ee
sur une des barres verticales, un point (x, y) de la frise deviendra le point (−x, −y) sous
cette transformation.) Ceci est exactement l’action de la rotation de 180
◦ aussi appel´ ee
sym´ etrie par rapport ` a l’origine. (L’exercice 8 donnera une preuve g´ eom´ etrique de cette
propri´ et´ e.)
Les propri´ et´ es suivantes des trois g´ en´ erateurs r h , r v et r h r v se v´ erifient ais´ ement
` a l’aide de la copie sur support transparent que vous aurez faite. Elles pourront ˆ etre
´ egalement v´ erifi´ ees ` a l’aide de la repr´ esentation matricielle qui sera introduite `
a la section
2.2. (Voir l’exercice 6.)
Proposition 2.1 1. Les op´ erations r h et r v commutent, c’est-` a-dire que les compositions r h r v et r v r h sont ´ egales.
2. L’op´ eration inverse de r h est r h , celle de r v est r v , celle de r h r v est r h r v .
3. La composition de r h et r h r v donne r v . Celle de r v et r h r v donne r h . (On en conclut
que, si deux des trois op´ erations r h , r v et r h r v sont des sym´ etries d’une frise, les trois
le sont.)
`
A l’aide de ces propri´ et´ es, il vous sera facile d’´ etablir, pour une frise donn´ ee de
la figure 2.2, lesquelles parmi les trois op´ erations r h , r v et r h r v sont des sym´ etries.
(Exercice : le faire pour les sept frises !)
2 Frises et mosa¨ ıques
par la r´ eflexion soit la frise. Il n’en est pas de mˆ eme des r´ eflexions par un miroir vertical.
La position d’un miroir vertical doit, elle, ˆ etre choisie selon le patron de la frise. La frise
2 (la seconde de la figure 2.2), par exemple, poss` ede une infinit´ e de miroirs verticaux.
Tous les miroirs situ´ es en chacun des segments verticaux qui indiquent la p´ eriodicit´ e
du patron laissent la frise inchang´ ee. Ces miroirs sont d´ ej` a en nombre infini. Mais il
y en a un autre ensemble infini : les miroirs situ´ es pr´ ecis´ ement ` a mi-chemin entre ces
mˆ emes segments verticaux. Nous verrons ` a l’exercice 7 que, si une frise de p´ eriode L
est inchang´ ee sous la r´ eflexion par rapport `
a un miroir vertical, elle l’est ´ egalement par
rapport `
a une infinit´ e d’autres miroirs verticaux, tous `
a distance n
L
2 du premier, o` u n est
un entier (∈ Z). La notation r v sous-entend donc un choix donn´ e pour la position d’un
miroir vertical et tous ses translat´ es par un multiple entier de
L
2 . (Exercice : identifier
quelles autres frises de la figure sont inchang´ ees sous un miroir vertical.)
Notation La composition d’op´ erations de sym´ etrie sera utilis´ ee souvent, et nous omettrons le symbole « ◦ » par la suite. Ainsi r h ◦ r v sera simplement not´ e r h r v . Nous verrons
´ egalement que l’ordre des op´ erations est important. Elles sont not´ ees de droite ` a gauche ;
ainsi la composition r h r v d´ enote l’op´ eration r v suivie de r h .
La rotation r h r v La frise 5 nous force ` a introduire un nouveau g´ en´ erateur dans
notre liste. Elle ne poss` ede ni r h ni r v comme sym´ etrie, mais si r v , puis r h lui sont
appliqu´ ees (avec le miroir de r v le long d’un des segments verticaux), la frise demeure
invariante. (Exercice : le v´ erifier !) Donc, il peut se produire que ni r h ni r v ne soient
des g´ en´ erateurs, mais que leur composition (r h r v ) le soit. Ce g´ en´ erateur r h r v obtenu
de deux r´ eflexions est une rotation de 180
◦ . Pour s’en convaincre, il suffit de remarquer
que r h r v ´ echange simultan´ ement le haut et le bas, ainsi que la gauche et la droite, sans
alt´ erer les distances. (En termes d’un syst` eme de coordonn´ ees dont l’origine est situ´ ee
sur une des barres verticales, un point (x, y) de la frise deviendra le point (−x, −y) sous
cette transformation.) Ceci est exactement l’action de la rotation de 180
◦ aussi appel´ ee
sym´ etrie par rapport ` a l’origine. (L’exercice 8 donnera une preuve g´ eom´ etrique de cette
propri´ et´ e.)
Les propri´ et´ es suivantes des trois g´ en´ erateurs r h , r v et r h r v se v´ erifient ais´ ement
` a l’aide de la copie sur support transparent que vous aurez faite. Elles pourront ˆ etre
´ egalement v´ erifi´ ees ` a l’aide de la repr´ esentation matricielle qui sera introduite `
a la section
2.2. (Voir l’exercice 6.)
Proposition 2.1 1. Les op´ erations r h et r v commutent, c’est-` a-dire que les compositions r h r v et r v r h sont ´ egales.
2. L’op´ eration inverse de r h est r h , celle de r v est r v , celle de r h r v est r h r v .
3. La composition de r h et r h r v donne r v . Celle de r v et r h r v donne r h . (On en conclut
que, si deux des trois op´ erations r h , r v et r h r v sont des sym´ etries d’une frise, les trois
le sont.)
`
A l’aide de ces propri´ et´ es, il vous sera facile d’´ etablir, pour une frise donn´ ee de
la figure 2.2, lesquelles parmi les trois op´ erations r h , r v et r h r v sont des sym´ etries.
(Exercice : le faire pour les sept frises !)