2.1 Frises et sym´ etries
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demeure inchang´ e sous les mˆ emes op´ erations. Par exemple, la troisi` eme frise de la figure
2.1 et la troisi` eme de la figure 2.2 demeurent inchang´ ees sous les translations et la
r´ eflexion dans un miroir horizontal.
Lorsqu’une transformation g´ eom´ etrique pr´ eservant les longueurs (comme les translations et les r´ eflexions dans un miroir) laisse une frise inchang´ ee, on dit de cette transformation qu’elle est une op´ eration de sym´ etrie pour la frise ou, de fa¸ con plus courte,
une sym´ etrie de la frise. Dresser une liste compl` ete des op´ erations de sym´ etrie pour
une frise donn´ ee est parfois fastidieux ; notons, par exemple, que nous aimerions distinguer la translation d’une distance L de celles d’une distance 2L, 3L, etc., et que ces
translations sont d´ ej` a en nombre infini. L’ensemble des op´ erations contiendra ´ egalement
les inverses de ces translations. L’inverse d’une op´ eration de sym´ etrie est l’inverse au
sens des fonctions : la composition d’une op´ eration et de son inverse est l’identit´ e sur le
plan (ou sur la bande o` u est dessin´ ee la frise). Par exemple, l’inverse d’une translation
vers la droite d’une distance L est une translation vers la gauche de la mˆ eme distance.
(Exercice : quel est l’inverse d’une r´ eflexion par rapport `
a un miroir ? Et d’une rotation
d’un angle θ ?) Ainsi, si nous associons une distance positive `
a une translation vers la
droite et une distance n´ egative `
a une translation vers la gauche, les sym´ etries d’une
frise de p´ eriode L incluent les translations d’une distance nL pour tout n ∈ Z. Clairement, l’ensemble des sym´ etries d’une frise contiendra un nombre infini d’op´ erations de
translation. Un bon compromis est de donner un sous-ensemble dont la composition et
l’inversion des ´ el´ ements permettent de construire tous les autres. Un tel sous-ensemble
est appel´ e un ensemble de g´ en´ erateurs. C’est ce que nous essaierons d’obtenir par la
suite. (Les math´ ematiciens pr´ ef` erent que ce sous-ensemble soit le plus petit possible. Ils
le disent minimal si, apr` es le retrait d’un de ses ´ el´ ements, il ne suffit plus pour engendrer
toutes les sym´ etries.)
Notre but dans le reste de cette section est de d´ evelopper une intuition g´ eom´ etrique
de certaines des id´ ees maˆ ıtresses menant au th´ eor` eme de classification 2.12. Ce th´ eor` eme
dresse la liste compl` ete des ensembles de g´ en´ erateurs qui peuvent caract´ eriser les
sym´ etries d’une frise. Mais, avant de commencer, nous vous sugg´ erons de faire une copie sur support transparent de la figure 2.2 et de la d´ ecouper en sept bandes, une pour
chaque frise. Vous pourrez ainsi exp´ erimenter et vous familiariser avec les affirmations
qui suivent.
Les trois g´ en´ erateurs t L , r h et r v Nous avons d´ ej` a introduit quelques op´ erations
de sym´ etrie possibles : les translations (par tout multiple entier de la p´ eriode L), les
r´ eflexions par rapport `
a des miroirs horizontal et vertical. Nous noterons ces types de
r´ eflexion par r h et r v respectivement. Quant ` a l’ensemble de toutes les translations,
il est engendr´ e par l’unique translation t L d’une p´ eriode L. (L’inversion nous permet
d’engendrer t −L , la translation d’une distance nL est la composition t L ◦ t L ◦ · · · ◦ t L de
n op´ erations t L , etc.)
Une subtilit´ e doit ˆ etre ´ eclaircie imm´ ediatement. Pour que la r´ eflexion r h par rapport
` a un miroir horizontal laisse une frise invariante, il faut que l’axe de r´ eflexion soit la
ligne horizontale au centre de la frise (trac´ ee en pointill´ e sur la figure 2.2). Donc, la
position du miroir est compl` etement d´ etermin´ ee par l’exigence que l’image de la frise
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demeure inchang´ e sous les mˆ emes op´ erations. Par exemple, la troisi` eme frise de la figure
2.1 et la troisi` eme de la figure 2.2 demeurent inchang´ ees sous les translations et la
r´ eflexion dans un miroir horizontal.
Lorsqu’une transformation g´ eom´ etrique pr´ eservant les longueurs (comme les translations et les r´ eflexions dans un miroir) laisse une frise inchang´ ee, on dit de cette transformation qu’elle est une op´ eration de sym´ etrie pour la frise ou, de fa¸ con plus courte,
une sym´ etrie de la frise. Dresser une liste compl` ete des op´ erations de sym´ etrie pour
une frise donn´ ee est parfois fastidieux ; notons, par exemple, que nous aimerions distinguer la translation d’une distance L de celles d’une distance 2L, 3L, etc., et que ces
translations sont d´ ej` a en nombre infini. L’ensemble des op´ erations contiendra ´ egalement
les inverses de ces translations. L’inverse d’une op´ eration de sym´ etrie est l’inverse au
sens des fonctions : la composition d’une op´ eration et de son inverse est l’identit´ e sur le
plan (ou sur la bande o` u est dessin´ ee la frise). Par exemple, l’inverse d’une translation
vers la droite d’une distance L est une translation vers la gauche de la mˆ eme distance.
(Exercice : quel est l’inverse d’une r´ eflexion par rapport `
a un miroir ? Et d’une rotation
d’un angle θ ?) Ainsi, si nous associons une distance positive `
a une translation vers la
droite et une distance n´ egative `
a une translation vers la gauche, les sym´ etries d’une
frise de p´ eriode L incluent les translations d’une distance nL pour tout n ∈ Z. Clairement, l’ensemble des sym´ etries d’une frise contiendra un nombre infini d’op´ erations de
translation. Un bon compromis est de donner un sous-ensemble dont la composition et
l’inversion des ´ el´ ements permettent de construire tous les autres. Un tel sous-ensemble
est appel´ e un ensemble de g´ en´ erateurs. C’est ce que nous essaierons d’obtenir par la
suite. (Les math´ ematiciens pr´ ef` erent que ce sous-ensemble soit le plus petit possible. Ils
le disent minimal si, apr` es le retrait d’un de ses ´ el´ ements, il ne suffit plus pour engendrer
toutes les sym´ etries.)
Notre but dans le reste de cette section est de d´ evelopper une intuition g´ eom´ etrique
de certaines des id´ ees maˆ ıtresses menant au th´ eor` eme de classification 2.12. Ce th´ eor` eme
dresse la liste compl` ete des ensembles de g´ en´ erateurs qui peuvent caract´ eriser les
sym´ etries d’une frise. Mais, avant de commencer, nous vous sugg´ erons de faire une copie sur support transparent de la figure 2.2 et de la d´ ecouper en sept bandes, une pour
chaque frise. Vous pourrez ainsi exp´ erimenter et vous familiariser avec les affirmations
qui suivent.
Les trois g´ en´ erateurs t L , r h et r v Nous avons d´ ej` a introduit quelques op´ erations
de sym´ etrie possibles : les translations (par tout multiple entier de la p´ eriode L), les
r´ eflexions par rapport `
a des miroirs horizontal et vertical. Nous noterons ces types de
r´ eflexion par r h et r v respectivement. Quant ` a l’ensemble de toutes les translations,
il est engendr´ e par l’unique translation t L d’une p´ eriode L. (L’inversion nous permet
d’engendrer t −L , la translation d’une distance nL est la composition t L ◦ t L ◦ · · · ◦ t L de
n op´ erations t L , etc.)
Une subtilit´ e doit ˆ etre ´ eclaircie imm´ ediatement. Pour que la r´ eflexion r h par rapport
` a un miroir horizontal laisse une frise invariante, il faut que l’axe de r´ eflexion soit la
ligne horizontale au centre de la frise (trac´ ee en pointill´ e sur la figure 2.2). Donc, la
position du miroir est compl` etement d´ etermin´ ee par l’exigence que l’image de la frise