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2 Frises et mosa¨ ıques
Classifier des objets math´ ematiques est une activit´ e que le lecteur a peut-ˆ etre d´ ej` a
rencontr´ ee. S’il a suivi un cours de calcul diff´ erentiel ` a plusieurs variables, il se rappellera la classification des extrema d’une fonction de deux variables. Si, en un extremum,
la matrice (hessienne) des d´ eriv´ ees secondes est non singuli` ere, l’extremum peut ˆ etre
classifi´ e en un des trois types suivants : un minimum local, un maximum local ou un
point de selle. Si le lecteur a suivi un cours de g´ eom´ etrie euclidienne ou un cours avanc´ e
d’alg` ebre lin´ eaire, il aura peut-ˆ etre ´ egalement vu la classification des coniques. Et celui
qui a lu le chapitre 6 sur les codes correcteurs notera que les th´ eor` emes 6.17 et 6.18 classifient les corps finis. Ces exemples classifient des objets abstraits. Il peut ˆ etre ´ etonnant
de r´ ealiser que les math´ ematiques peuvent ´ egalement classifier des objets aussi concrets
que des patrons architecturaux. Voici comment ceci se fait.
2.1 Frises et sym´ etries
Le Petit Robert d´ efinit frise comme suit : bordure ornementale en forme de bandeau
continu (d’un mur, d’une chemin´ ee, d’un chambranle, d’un meuble, etc.). La figure 2.1
pr´ esente sept frises. Pour ´ etudier math´ ematiquement ces objets, nous ajouterons ` a la
d´ efinition du Robert les ´ el´ ements suivants : (i) une frise poss´ edera une largeur constante
finie (la hauteur des frises dans la figure 2.1) et elle sera infinie dans la direction perpendiculaire (l’horizontale ici) ; (ii) elle sera p´ eriodique, c’est-` a-dire qu’il existera une
distance minimale L non nulle telle qu’une translation de longueur L de la frise dans la
direction o` u elle est infinie la laisse inchang´ ee. Le nombre L sera appel´ e la p´ eriode de la
frise. Cette d´ efinition ne colle donc pas imm´ ediatement aux frises de la figure puisque
ces derni` eres ne sont pas infinies. Mais il n’est pas difficile de coller, `
a l’aide de son
imagination, un nombre infini de copies d’une frise bout `
a bout de fa¸ con ` a produire
une frise id´ ealis´ ee. (La g´ eom´ etrie euclidienne nous a habitu´ es ` a cet exercice mental : les
points g´ eom´ etriques n’y ont pas de dimension, et les droites y sont infinies.)
La figure 2.2 pr´ esente ´ egalement sept frises. Leur dessin est plus ´ epur´ e, et il est
peut-ˆ etre plus simple de les ´ etudier. Ces sept frises ont la mˆ eme p´ eriode L, la distance
entre deux barres verticales. Dans ce qui suit, ces barres verticales seront consid´ er´ ees
comme ne faisant pas partie du patron de la frise. Elles n’ont ´ et´ e trac´ ees que pour aider
l’œil. Certaines de ces frises sont invariantes sous d’autres op´ erations g´ eom´ etriques que
la translation par une distance L. Par exemple, si on bascule la troisi` eme ou la septi` eme
frise en ´ echangeant le bas et le haut, ces deux frises demeurent inchang´ ees. Nous dirons
qu’elles sont invariantes sous l’op´ eration de r´ eflexion dans un miroir horizontal. La
seconde, la sixi` eme et la septi` eme sont invariantes sous une r´ eflexion dans un miroir
vertical qui ´ echange la gauche et la droite. Ces distinctions entre frises soul` event une
question naturelle : est-il possible de classifier les frises selon l’ensemble des op´ erations
g´ eom´ etriques qui les laissent inchang´ ees ? Par exemple, l’ensemble d’op´ erations qui laisse
la premi` ere frise inchang´ ee n’inclut ni le miroir horizontal ni le miroir vertical. Cet
ensemble est donc distinct de l’ensemble laissant la troisi` eme frise inchang´ ee. Notons
que les frises des figures 2.1 et 2.2 ont ´ et´ e ordonn´ ees de fa¸ con ` a ce que leur vis-` a-vis
2 Frises et mosa¨ ıques
Classifier des objets math´ ematiques est une activit´ e que le lecteur a peut-ˆ etre d´ ej` a
rencontr´ ee. S’il a suivi un cours de calcul diff´ erentiel ` a plusieurs variables, il se rappellera la classification des extrema d’une fonction de deux variables. Si, en un extremum,
la matrice (hessienne) des d´ eriv´ ees secondes est non singuli` ere, l’extremum peut ˆ etre
classifi´ e en un des trois types suivants : un minimum local, un maximum local ou un
point de selle. Si le lecteur a suivi un cours de g´ eom´ etrie euclidienne ou un cours avanc´ e
d’alg` ebre lin´ eaire, il aura peut-ˆ etre ´ egalement vu la classification des coniques. Et celui
qui a lu le chapitre 6 sur les codes correcteurs notera que les th´ eor` emes 6.17 et 6.18 classifient les corps finis. Ces exemples classifient des objets abstraits. Il peut ˆ etre ´ etonnant
de r´ ealiser que les math´ ematiques peuvent ´ egalement classifier des objets aussi concrets
que des patrons architecturaux. Voici comment ceci se fait.
2.1 Frises et sym´ etries
Le Petit Robert d´ efinit frise comme suit : bordure ornementale en forme de bandeau
continu (d’un mur, d’une chemin´ ee, d’un chambranle, d’un meuble, etc.). La figure 2.1
pr´ esente sept frises. Pour ´ etudier math´ ematiquement ces objets, nous ajouterons ` a la
d´ efinition du Robert les ´ el´ ements suivants : (i) une frise poss´ edera une largeur constante
finie (la hauteur des frises dans la figure 2.1) et elle sera infinie dans la direction perpendiculaire (l’horizontale ici) ; (ii) elle sera p´ eriodique, c’est-` a-dire qu’il existera une
distance minimale L non nulle telle qu’une translation de longueur L de la frise dans la
direction o` u elle est infinie la laisse inchang´ ee. Le nombre L sera appel´ e la p´ eriode de la
frise. Cette d´ efinition ne colle donc pas imm´ ediatement aux frises de la figure puisque
ces derni` eres ne sont pas infinies. Mais il n’est pas difficile de coller, `
a l’aide de son
imagination, un nombre infini de copies d’une frise bout `
a bout de fa¸ con ` a produire
une frise id´ ealis´ ee. (La g´ eom´ etrie euclidienne nous a habitu´ es ` a cet exercice mental : les
points g´ eom´ etriques n’y ont pas de dimension, et les droites y sont infinies.)
La figure 2.2 pr´ esente ´ egalement sept frises. Leur dessin est plus ´ epur´ e, et il est
peut-ˆ etre plus simple de les ´ etudier. Ces sept frises ont la mˆ eme p´ eriode L, la distance
entre deux barres verticales. Dans ce qui suit, ces barres verticales seront consid´ er´ ees
comme ne faisant pas partie du patron de la frise. Elles n’ont ´ et´ e trac´ ees que pour aider
l’œil. Certaines de ces frises sont invariantes sous d’autres op´ erations g´ eom´ etriques que
la translation par une distance L. Par exemple, si on bascule la troisi` eme ou la septi` eme
frise en ´ echangeant le bas et le haut, ces deux frises demeurent inchang´ ees. Nous dirons
qu’elles sont invariantes sous l’op´ eration de r´ eflexion dans un miroir horizontal. La
seconde, la sixi` eme et la septi` eme sont invariantes sous une r´ eflexion dans un miroir
vertical qui ´ echange la gauche et la droite. Ces distinctions entre frises soul` event une
question naturelle : est-il possible de classifier les frises selon l’ensemble des op´ erations
g´ eom´ etriques qui les laissent inchang´ ees ? Par exemple, l’ensemble d’op´ erations qui laisse
la premi` ere frise inchang´ ee n’inclut ni le miroir horizontal ni le miroir vertical. Cet
ensemble est donc distinct de l’ensemble laissant la troisi` eme frise inchang´ ee. Notons
que les frises des figures 2.1 et 2.2 ont ´ et´ e ordonn´ ees de fa¸ con ` a ce que leur vis-` a-vis