Pr´ eface
VII
qui s’intersectent pour permettre la lecture d’un message encod´ e ` a l’aide du code
de Reed–Solomon).
• Un tr` es grand nombre de sujets font appel aux d´ efinitions g´ eom´ etriques d’objets
g´ eom´ etriques usuels : le cercle, la sph` ere, les coniques. De plus, le concept de
lieu g´ eom´ etrique revient `
a r´ ep´ etitions, par exemple pour les probl` emes o` u on calcule la position d’un objet par triangulation (chapitre 1 sur le positionnement et
chapitre 15 des flashs-science).
• Les diff´ erents types de transformations affines du plan ou de l’espace, en particulier les sym´ etries et les rotations apparaissent de mani` ere r´ ecurrente : compression
d’images avec les fractales (chapitre 11), frises et mosa¨ ıques (chapitre 2), mouvement des robots (chapitre 3).
• Les groupes finis apparaissent comme groupes de sym´ etrie des frises et mosa¨ ıques
(chapitre 2), mais aussi pour les tests de primalit´ e en cryptographie (chapitre 7).
• Les corps finis apparaissent aussi bien dans le chapitre sur les codes correcteurs
d’erreurs (chapitre 6) que dans l’´ etude du signal g´ en´ er´ e par les satellites dans
le syst` eme GPS (chapitre 1) et dans les g´ en´ erateurs de nombres al´ eatoires (chapitre 8).
• La cryptographie (chapitre 7) et les g´ en´ erateurs de nombres al´ eatoires (chapitre 8)
font appel `
a l’arithm´ etique modulo n, alors que l’arithm´ etique modulo 2 intervient
dans les codes correcteurs d’erreurs (chapitre 6).
• Les probabilit´ es apparaissent dans des contextes inusit´ es : l’algorithme PageRank pour le fonctionnement de Google (chapitre 9), ainsi que dans la construction de grands nombres premiers (chapitre 7), alors que leur utilisation dans les
g´ en´ erateurs de nombres al´ eatoires est plus classique (chapitre 8).
• L’alg` ebre lin´ eaire est omnipr´ esente : codes de Hamming et de Reed–Solomon
(chapitre 6), algorithme PageRank (chapitre 9), robotique (chapitre 3), frises et
mosa¨ ıques (chapitre 2), fonctionnement du GPS (chapitre 1), standard JPEG
(chapitre 12), etc.
Le livre comme manuel d’un cours
Le livre s’adresse `
a des ´ etudiants ayant maˆ ıtris´ e les cours de calcul ` a plusieurs variables, d’alg` ebre lin´ eaire et de probabilit´ es ´ el´ ementaires, et ayant des connaissances de
g´ eom´ erie euclidienne. Nous esp´ erons n’avoir rien tenu d’autre pour acquis. La lecture
du livre est malgr´ e tout un d´ efi et requiert une certaine maturit´ e scientifique : elle demande de pouvoir sortir les acquis math´ ematiques des manuels originaux. En effet, la
plupart des applications consid´ er´ ees n´ ecessitent l’int´ egration d’une multitude de notions
math´ ematiques. Pour cette raison, nous recommandons ce livre pour des ´ etudiants de
deuxi` eme ou troisi` eme ann´ ee universitaire.
Le texte se pr´ esente sous deux formes : les chapitres principaux, plus longs et
d´ etaill´ es, et les flashs-science (chapitre 15), courts et bien circonscrits. Le lecteur verra
une certaine unit´ e dans les chapitres plus longs : les premi` eres sections d´ ecrivent l’application et le probl` eme math´ ematique qui est soulev´ e. Suit une description ´ el´ ementaire
de cas simples pr´ ec´ ed´ ee, si besoin est, des compl´ ements math´ ematiques. Nous appelons
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qui s’intersectent pour permettre la lecture d’un message encod´ e ` a l’aide du code
de Reed–Solomon).
• Un tr` es grand nombre de sujets font appel aux d´ efinitions g´ eom´ etriques d’objets
g´ eom´ etriques usuels : le cercle, la sph` ere, les coniques. De plus, le concept de
lieu g´ eom´ etrique revient `
a r´ ep´ etitions, par exemple pour les probl` emes o` u on calcule la position d’un objet par triangulation (chapitre 1 sur le positionnement et
chapitre 15 des flashs-science).
• Les diff´ erents types de transformations affines du plan ou de l’espace, en particulier les sym´ etries et les rotations apparaissent de mani` ere r´ ecurrente : compression
d’images avec les fractales (chapitre 11), frises et mosa¨ ıques (chapitre 2), mouvement des robots (chapitre 3).
• Les groupes finis apparaissent comme groupes de sym´ etrie des frises et mosa¨ ıques
(chapitre 2), mais aussi pour les tests de primalit´ e en cryptographie (chapitre 7).
• Les corps finis apparaissent aussi bien dans le chapitre sur les codes correcteurs
d’erreurs (chapitre 6) que dans l’´ etude du signal g´ en´ er´ e par les satellites dans
le syst` eme GPS (chapitre 1) et dans les g´ en´ erateurs de nombres al´ eatoires (chapitre 8).
• La cryptographie (chapitre 7) et les g´ en´ erateurs de nombres al´ eatoires (chapitre 8)
font appel `
a l’arithm´ etique modulo n, alors que l’arithm´ etique modulo 2 intervient
dans les codes correcteurs d’erreurs (chapitre 6).
• Les probabilit´ es apparaissent dans des contextes inusit´ es : l’algorithme PageRank pour le fonctionnement de Google (chapitre 9), ainsi que dans la construction de grands nombres premiers (chapitre 7), alors que leur utilisation dans les
g´ en´ erateurs de nombres al´ eatoires est plus classique (chapitre 8).
• L’alg` ebre lin´ eaire est omnipr´ esente : codes de Hamming et de Reed–Solomon
(chapitre 6), algorithme PageRank (chapitre 9), robotique (chapitre 3), frises et
mosa¨ ıques (chapitre 2), fonctionnement du GPS (chapitre 1), standard JPEG
(chapitre 12), etc.
Le livre comme manuel d’un cours
Le livre s’adresse `
a des ´ etudiants ayant maˆ ıtris´ e les cours de calcul ` a plusieurs variables, d’alg` ebre lin´ eaire et de probabilit´ es ´ el´ ementaires, et ayant des connaissances de
g´ eom´ erie euclidienne. Nous esp´ erons n’avoir rien tenu d’autre pour acquis. La lecture
du livre est malgr´ e tout un d´ efi et requiert une certaine maturit´ e scientifique : elle demande de pouvoir sortir les acquis math´ ematiques des manuels originaux. En effet, la
plupart des applications consid´ er´ ees n´ ecessitent l’int´ egration d’une multitude de notions
math´ ematiques. Pour cette raison, nous recommandons ce livre pour des ´ etudiants de
deuxi` eme ou troisi` eme ann´ ee universitaire.
Le texte se pr´ esente sous deux formes : les chapitres principaux, plus longs et
d´ etaill´ es, et les flashs-science (chapitre 15), courts et bien circonscrits. Le lecteur verra
une certaine unit´ e dans les chapitres plus longs : les premi` eres sections d´ ecrivent l’application et le probl` eme math´ ematique qui est soulev´ e. Suit une description ´ el´ ementaire
de cas simples pr´ ec´ ed´ ee, si besoin est, des compl´ ements math´ ematiques. Nous appelons