15.10 Exercices
577
Le pavage r´ egulier `
a 12 pentagones sph´ eriques
36. a) Montrer que chaque angle int´ erieur d’un polygone r´ egulier `
a n cˆ ot´ es mesure
π(n−2)
n
.
b) En d´ eduire que les angles int´ erieurs d’un pentagone sont de
3π
5 et que la
diagonale d d’un pentagone de cˆ ot´ e a (figure 15.43) est donn´ ee par
d = 2a cos
π
5
.
37. Un t´ etra` edre est un poly` edre r´ egulier form´ e par quatre triangles ´ equilat´ eraux (voir
la figure 15.57).
a) Calculer la hauteur d’un t´ etra` edre r´ egulier d’arˆ ete a, c’est-` a-dire la distance
entre un sommet et la face d´ etermin´ ee par les trois autres sommets.
Fig. 15.57. Un t´ etra` edre r´ egulier (exercice 37)
b) Quel est le rayon r du cercle circonscrit ` a un triangle ´ equilat´ eral d’arˆ ete a ?
c) On consid` ere la sph` ere de rayon R circonscrite `
a un t´ etra` edre r´ egulier d’arˆ ete
a. Calculer R en fonction de a.
d) Montrer que les quatre hauteurs se coupent au quart de leur longueur ` a partir
de la base.
38. Montrer qu’un choix appropri´ e de diagonales d’un cube donne un t´ etra` edre. Combien de tels t´ etra` edres obtient-on ?
39. a) Montrer que l’arˆ ete d d’un cube inscrit dans une sph` ere de rayon R est
d =
2
√
3
R.