15.10 Exercices
571
φ 0 ), b sin(θ + φ 0 ), z 0 ) de la deuxi` eme ellipse. Montrer que la r´ eunion des droites
(D θ ) est un hyperbolo¨ ıde `
a une nappe si φ 0 = π et un cˆ one de section elliptique
si φ 0 = π. Quelle surface obtient-on si φ 0 = 0 ?
12. a) Dans la proposition 15.13 et dans l’exercice 11, on a construit des hyperbolo¨ ıdes `
a une nappe qui sont la r´ eunion d’une famille de droites (D θ ). Montrer
qu’il existe une deuxi` eme famille de droites (D
θ ) dont la r´ eunion donne le mˆ eme
hyperbolo¨ ıde.
b) Montrer que, dans le cas du cˆ one, les deux familles de droites sont confondues.
13. Montrer qu’en tout point d’un hyperbolo¨ ıde `
a une nappe, le plan tangent en ce
point coupe l’hyperbolo¨ ıde suivant deux droites.
(En particulier, on a des points de la surface de chaque cˆ ot´ e du plan tangent :
c’est une propri´ et´ e des points de courbure (de Gauss) n´ egative.)
14. Montrer qu’en tout point d’un parabolo¨ ıde hyperbolique, le plan tangent en ce
point coupe le parabolo¨ ıde hyperbolique suivant deux droites.
15. On consid` ere les coordonn´ ees cylindriques (x, y, z) = (r cos θ, r sin θ, z). L’h´ elico¨ ıde
est d´ efini par les ´ equations param´ etriques
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = r cos θ
y = r sin θ
z = Cθ,
o` u C est une constante. Essayer de visualiser la surface et montrer que c’est une
surface r´ egl´ ee, c’est-` a-dire une r´ eunion de droites.
(On peut s’inspirer de cette surface pour construire des escaliers en colima¸ con.)
La disposition optimale des antennes sur un territoire
16. Essayer de disposer des antennes sur un grand territoire avec d’autres r´ eseaux
triangulaires r´ eguliers dont tous les triangles sont congrus entre eux, mais pas
n´ ecessairement ´ equilat´ eraux, et v´ erifier que le r´ eseau de triangles ´ equilat´ eraux est
optimal, c’est-` a-dire qu’il utilise le nombre minimal d’antennes. (Un r´ eseau est
r´ egulier si les triangles sont align´ es en rang´ ees horizontales empil´ ees les unes audessus des autres. Sur chaque rang´ ee horizontale il y a alternance entre les triangles
base en haut et base en bas.)
17. On reprend les trois r´ eseaux r´ eguliers de la section 15.4, ` a savoir les r´ eseaux dont
les cellules sont des triangles ´ equilat´ eraux, des carr´ es ou des hexagones r´ eguliers,
mais on change de probl´ ematique. On veut choisir le r´ eseau tel que la somme des
longueurs des arˆ etes soit minimale, sous la contrainte que toutes les « cellules »
(triangulaires, carr´ ees ou hexagonales) ont la mˆ eme aire A. Montrer que c’est le
r´ eseau hexagonal qui est le plus ´ economique, suivi du r´ eseau carr´ e, puis du r´ eseau
triangulaire.
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φ 0 ), b sin(θ + φ 0 ), z 0 ) de la deuxi` eme ellipse. Montrer que la r´ eunion des droites
(D θ ) est un hyperbolo¨ ıde `
a une nappe si φ 0 = π et un cˆ one de section elliptique
si φ 0 = π. Quelle surface obtient-on si φ 0 = 0 ?
12. a) Dans la proposition 15.13 et dans l’exercice 11, on a construit des hyperbolo¨ ıdes `
a une nappe qui sont la r´ eunion d’une famille de droites (D θ ). Montrer
qu’il existe une deuxi` eme famille de droites (D
θ ) dont la r´ eunion donne le mˆ eme
hyperbolo¨ ıde.
b) Montrer que, dans le cas du cˆ one, les deux familles de droites sont confondues.
13. Montrer qu’en tout point d’un hyperbolo¨ ıde `
a une nappe, le plan tangent en ce
point coupe l’hyperbolo¨ ıde suivant deux droites.
(En particulier, on a des points de la surface de chaque cˆ ot´ e du plan tangent :
c’est une propri´ et´ e des points de courbure (de Gauss) n´ egative.)
14. Montrer qu’en tout point d’un parabolo¨ ıde hyperbolique, le plan tangent en ce
point coupe le parabolo¨ ıde hyperbolique suivant deux droites.
15. On consid` ere les coordonn´ ees cylindriques (x, y, z) = (r cos θ, r sin θ, z). L’h´ elico¨ ıde
est d´ efini par les ´ equations param´ etriques
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x = r cos θ
y = r sin θ
z = Cθ,
o` u C est une constante. Essayer de visualiser la surface et montrer que c’est une
surface r´ egl´ ee, c’est-` a-dire une r´ eunion de droites.
(On peut s’inspirer de cette surface pour construire des escaliers en colima¸ con.)
La disposition optimale des antennes sur un territoire
16. Essayer de disposer des antennes sur un grand territoire avec d’autres r´ eseaux
triangulaires r´ eguliers dont tous les triangles sont congrus entre eux, mais pas
n´ ecessairement ´ equilat´ eraux, et v´ erifier que le r´ eseau de triangles ´ equilat´ eraux est
optimal, c’est-` a-dire qu’il utilise le nombre minimal d’antennes. (Un r´ eseau est
r´ egulier si les triangles sont align´ es en rang´ ees horizontales empil´ ees les unes audessus des autres. Sur chaque rang´ ee horizontale il y a alternance entre les triangles
base en haut et base en bas.)
17. On reprend les trois r´ eseaux r´ eguliers de la section 15.4, ` a savoir les r´ eseaux dont
les cellules sont des triangles ´ equilat´ eraux, des carr´ es ou des hexagones r´ eguliers,
mais on change de probl´ ematique. On veut choisir le r´ eseau tel que la somme des
longueurs des arˆ etes soit minimale, sous la contrainte que toutes les « cellules »
(triangulaires, carr´ ees ou hexagonales) ont la mˆ eme aire A. Montrer que c’est le
r´ eseau hexagonal qui est le plus ´ economique, suivi du r´ eseau carr´ e, puis du r´ eseau
triangulaire.