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15 Flashs-science
b) De quelle longueur doit ˆ etre la corde si la longueur de la r` egle est L et que
l’´ equation de l’hyperbole est donn´ ee par (15.32) ?
c) Que devez-vous faire pour tracer la deuxi` eme branche de l’hyperbole ?
9. Voici un dispositif pour tracer une parabole. On fixe une r` egle le long d’une droite
(D). On fait glisser une ´ equerre de hauteur h = AB le long de la r` egle (voir la
figure 15.51). Une corde de longueur L est attach´ ee par une extr´ emit´ e ` a un point
fixe O situ´ e ` a la distance h 1 de la droite (D). L’autre extr´ emit´ e de la corde est
attach´ ee au sommet A de l’´ equerre. La pointe du crayon est plac´ ee le long du cˆ ot´ e
vertical de l’´ equerre en un point P de telle sorte que la corde soit tendue : on a
donc |AP | + |OP | = L. On pose h 2 = h − h 1 .
Fig. 15.51. Le tra¸ cage de la parabole (exercice 9)
a) Si L > h 2 , montrer que la pointe du crayon d´ ecrit un arc de parabole. (Suggestion : prendre un syst` eme d’axes centr´ e en O et appeler (x, y) les coordonn´ ees de
P .)
b) Montrer que le foyer de la parabole est en O.
c) Montrer que l’arc de parabole qu’on peut tracer est tangent `
a la droite (D) si
h 1 =
L−h2
2 . Dans ce cas, trouver la directrice de la parabole.
d) Montrer que le sommet de la parabole est une extr´ emit´ e de l’arc de parabole
que l’on peut tracer si et seulement si
L−h2
2
≤ h 1 .
Les quadriques
10. Montrer que l’´ equation
x
2 + y
2 = C
2 z
2
o` u C > 0 est l’´ equation d’un cˆ one de section circulaire.
11. On consid` ere deux ellipses
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1 situ´ ees dans les plans z = −z 0 et z = z 0 .
Soit φ 0 ∈ (−π, 0) ∪ (0, π] un angle fix´ e. Soit (D θ ) la droite joignant le point
P (θ) = (a cos θ, b sin θ, −z 0 ) de la premi` ere ellipse au point Q(θ) = (a cos(θ +
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b) De quelle longueur doit ˆ etre la corde si la longueur de la r` egle est L et que
l’´ equation de l’hyperbole est donn´ ee par (15.32) ?
c) Que devez-vous faire pour tracer la deuxi` eme branche de l’hyperbole ?
9. Voici un dispositif pour tracer une parabole. On fixe une r` egle le long d’une droite
(D). On fait glisser une ´ equerre de hauteur h = AB le long de la r` egle (voir la
figure 15.51). Une corde de longueur L est attach´ ee par une extr´ emit´ e ` a un point
fixe O situ´ e ` a la distance h 1 de la droite (D). L’autre extr´ emit´ e de la corde est
attach´ ee au sommet A de l’´ equerre. La pointe du crayon est plac´ ee le long du cˆ ot´ e
vertical de l’´ equerre en un point P de telle sorte que la corde soit tendue : on a
donc |AP | + |OP | = L. On pose h 2 = h − h 1 .
Fig. 15.51. Le tra¸ cage de la parabole (exercice 9)
a) Si L > h 2 , montrer que la pointe du crayon d´ ecrit un arc de parabole. (Suggestion : prendre un syst` eme d’axes centr´ e en O et appeler (x, y) les coordonn´ ees de
P .)
b) Montrer que le foyer de la parabole est en O.
c) Montrer que l’arc de parabole qu’on peut tracer est tangent `
a la droite (D) si
h 1 =
L−h2
2 . Dans ce cas, trouver la directrice de la parabole.
d) Montrer que le sommet de la parabole est une extr´ emit´ e de l’arc de parabole
que l’on peut tracer si et seulement si
L−h2
2
≤ h 1 .
Les quadriques
10. Montrer que l’´ equation
x
2 + y
2 = C
2 z
2
o` u C > 0 est l’´ equation d’un cˆ one de section circulaire.
11. On consid` ere deux ellipses
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1 situ´ ees dans les plans z = −z 0 et z = z 0 .
Soit φ 0 ∈ (−π, 0) ∪ (0, π] un angle fix´ e. Soit (D θ ) la droite joignant le point
P (θ) = (a cos θ, b sin θ, −z 0 ) de la premi` ere ellipse au point Q(θ) = (a cos(θ +