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15 Flashs-science
(Motivation : les alv´ eoles des ruches d’abeilles sont hexagonales. On a longtemps
conjectur´ e que c’´ etait pour minimiser la quantit´ e de cire que les abeilles « choisissaient » cette forme pour les alv´ eoles. Si les alv´ eoles ´ etaient tr` es profondes, ce
serait effectivement le cas, car la surface du fond serait n´ egligeable dans la quantit´ e de cire requise pour construire les alv´ eoles. En fait, on sait maintenant que la
forme du fond n’est pas optimale.)
18. On recouvre une grande r´ egion du plan par des disques de rayon r. On utilise deux
m´ ethodes : dans la premi` ere, les centres des disques sont situ´ es aux sommets d’un
r´ eseau de carr´ es (figure 15.52, ` a gauche) et dans la deuxi` eme, aux sommets d’un
r´ eseau de triangles ´ equilat´ eraux (figure 15.52, `
a droite). Quelle m´ ethode donne
Fig. 15.52. Les deux m´ ethodes de remplissage d’une r´ egion du plan avec des disques (exercice 18)
le remplissage le plus dense ? Suggestion : calculer la proportion de chaque carr´ e
recouverte par des portions de disques ` a gauche et la proportion de chaque triangle
recouverte par des portions de disques ` a droite.
Les diagrammes de Vorono¨ ı
19. G´ en´ eraliser la proposition 15.17 au cas d’une r´ egion D quelconque du plan.
20. On peut aussi d´ efinir le diagramme de Vorono¨ ı d’un ensemble de sites dans l’espace
R
3 . Proposer une d´ efinition et un ´ equivalent des propositions 15.16 et 15.17 pour
ce cas.
21. Donner le diagramme de Vorono¨ ı d’un ensemble de trois points qui sont les sommets d’un triangle ´ equilat´ eral.
22. Donner des conditions sur la position de quatre points P 1 , P 2 , P 3 , P 4 pour que
le diagramme de Vorono¨ ı de l’ensemble S = {P 1 , P 2 , P 3 , P 4 } contienne une cellule
triangulaire.
15 Flashs-science
(Motivation : les alv´ eoles des ruches d’abeilles sont hexagonales. On a longtemps
conjectur´ e que c’´ etait pour minimiser la quantit´ e de cire que les abeilles « choisissaient » cette forme pour les alv´ eoles. Si les alv´ eoles ´ etaient tr` es profondes, ce
serait effectivement le cas, car la surface du fond serait n´ egligeable dans la quantit´ e de cire requise pour construire les alv´ eoles. En fait, on sait maintenant que la
forme du fond n’est pas optimale.)
18. On recouvre une grande r´ egion du plan par des disques de rayon r. On utilise deux
m´ ethodes : dans la premi` ere, les centres des disques sont situ´ es aux sommets d’un
r´ eseau de carr´ es (figure 15.52, ` a gauche) et dans la deuxi` eme, aux sommets d’un
r´ eseau de triangles ´ equilat´ eraux (figure 15.52, `
a droite). Quelle m´ ethode donne
Fig. 15.52. Les deux m´ ethodes de remplissage d’une r´ egion du plan avec des disques (exercice 18)
le remplissage le plus dense ? Suggestion : calculer la proportion de chaque carr´ e
recouverte par des portions de disques ` a gauche et la proportion de chaque triangle
recouverte par des portions de disques ` a droite.
Les diagrammes de Vorono¨ ı
19. G´ en´ eraliser la proposition 15.17 au cas d’une r´ egion D quelconque du plan.
20. On peut aussi d´ efinir le diagramme de Vorono¨ ı d’un ensemble de sites dans l’espace
R
3 . Proposer une d´ efinition et un ´ equivalent des propositions 15.16 et 15.17 pour
ce cas.
21. Donner le diagramme de Vorono¨ ı d’un ensemble de trois points qui sont les sommets d’un triangle ´ equilat´ eral.
22. Donner des conditions sur la position de quatre points P 1 , P 2 , P 3 , P 4 pour que
le diagramme de Vorono¨ ı de l’ensemble S = {P 1 , P 2 , P 3 , P 4 } contienne une cellule
triangulaire.