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15 Flashs-science
Fig. 15.48. Le t´ elescope du projet ALPACA (exercice 5)
(cos θ cos φ, sin θ cos φ, sin φ),
o` u θ ∈ [0, 2π] et φ ∈ [−
π
2 ,
π
2 ]. Montrer que, si P i = (cos θ i cos φ i , sin θ i cos φ i ,
sin φ i ), i = 1, 2, alors la direction de la bissectrice de l’angle
P 1 OP 2 est donn´ ee
par le vecteur
v
|v| , o` u v =
− − →
OP 1 +
− − →
OP 2 .
Remarque : le miroir de l’h´ eliostat est mont´ e sur des axes de rotation de mani` ere ` a
s’ajuster `
a la position du soleil tout au long de la journ´ ee. L’emploi des coordonn´ ees
sph´ eriques met en ´ evidence le fait que deux rotations suffisent pour lui faire prendre
n’importe quelle orientation. (Pour plus de d´ etails sur les mouvements autour d’axes
de rotation, voir le chapitre 3.)
7. Voici un outil ing´ enieux utilis´ e par les menuisiers pour tracer des ellipses. L’outil est
une plaque carr´ ee encav´ ee de deux sillons en forme de croix sur lesquels se meuvent
deux petits chariots. Le chariot ´ etiquet´ e A ne peut se mouvoir que verticalement
alors que l’autre ne bouge qu’horizontalement. Aux centres des petits chariots sont
fix´ ees deux petites tiges sur lesquelles pivote un bras dans un plan parall` ele au
plan de l’outil. Le bras est rigide, et la distance entre les petites tiges, que nous
appellerons A et B, est constante et ´ egale `
a d = |AB|. La longueur totale du bras
est L. `
A l’extr´ emit´ e C du bras est fix´ ee une pointe de crayon qui dessine une courbe
(figure 15.49).
a) Montrer que la courbe dessin´ ee par la pointe de crayon quand les chariots se
meuvent le long des sillons, entraˆ ınant la rotation du bras autour de A et de B, est
une ellipse.
b) Comment faut-il choisir d et L pour que l’ellipse trac´ ee ait les demi-axes a et
b ?
15 Flashs-science
Fig. 15.48. Le t´ elescope du projet ALPACA (exercice 5)
(cos θ cos φ, sin θ cos φ, sin φ),
o` u θ ∈ [0, 2π] et φ ∈ [−
π
2 ,
π
2 ]. Montrer que, si P i = (cos θ i cos φ i , sin θ i cos φ i ,
sin φ i ), i = 1, 2, alors la direction de la bissectrice de l’angle
P 1 OP 2 est donn´ ee
par le vecteur
v
|v| , o` u v =
− − →
OP 1 +
− − →
OP 2 .
Remarque : le miroir de l’h´ eliostat est mont´ e sur des axes de rotation de mani` ere ` a
s’ajuster `
a la position du soleil tout au long de la journ´ ee. L’emploi des coordonn´ ees
sph´ eriques met en ´ evidence le fait que deux rotations suffisent pour lui faire prendre
n’importe quelle orientation. (Pour plus de d´ etails sur les mouvements autour d’axes
de rotation, voir le chapitre 3.)
7. Voici un outil ing´ enieux utilis´ e par les menuisiers pour tracer des ellipses. L’outil est
une plaque carr´ ee encav´ ee de deux sillons en forme de croix sur lesquels se meuvent
deux petits chariots. Le chariot ´ etiquet´ e A ne peut se mouvoir que verticalement
alors que l’autre ne bouge qu’horizontalement. Aux centres des petits chariots sont
fix´ ees deux petites tiges sur lesquelles pivote un bras dans un plan parall` ele au
plan de l’outil. Le bras est rigide, et la distance entre les petites tiges, que nous
appellerons A et B, est constante et ´ egale `
a d = |AB|. La longueur totale du bras
est L. `
A l’extr´ emit´ e C du bras est fix´ ee une pointe de crayon qui dessine une courbe
(figure 15.49).
a) Montrer que la courbe dessin´ ee par la pointe de crayon quand les chariots se
meuvent le long des sillons, entraˆ ınant la rotation du bras autour de A et de B, est
une ellipse.
b) Comment faut-il choisir d et L pour que l’ellipse trac´ ee ait les demi-axes a et
b ?