15.10 Exercices
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Fig. 15.47. Deux miroirs perpendiculaires comme dans l’exercice 1
Si tous les rayons arrivent de l’infini parall` element ` a l’axe du miroir et sont r´ efl´ echis
suivant la loi de la r´ eflexion, montrer que tous les rayons r´ efl´ echis passent par le
mˆ eme point (0, 0,
1
4a ). Pour cela, utiliser le r´ esultat dans le plan avec la courbe
z = ax
2 , puis passer au cas g´ en´ eral en utilisant la sym´ etrie du probl` eme sous des
rotations par rapport `
a l’axe du parabolo¨ ıde circulaire : le rayon r´ efl´ echi est contenu
dans le plan engendr´ e par le rayon initial et l’axe du parabolo¨ ıde.
4. La propri´ et´ e remarquable de l’hyperbole Soit (D) une droite joignant un
point P d’une branche d’hyperbole au foyer situ´ e ` a l’int´ erieur de cette branche.
Soit (D
) la droite sym´ etrique de (D) par rapport `
a la tangente `
a l’hyperbole en P .
Montrer que (D
) passe par l’autre foyer de l’hyperbole (voir la figure 15.19).
5. Le t´ elescope ` a miroir liquide du projet ALPACA Le plan du t´ elescope
ALPACA qui sera implant´ e au sommet d’une montagne chilienne est donn´ e ` a la
figure 15.48. Expliquer quelles formes coniques on pourrait donner ` a ses trois miroirs
et comment placer leurs foyers pour le r´ ealiser. (Plus de d´ etails sur ce t´ elescope sont
donn´ es ` a la section 14.11 du chapitre 14.)
6. Pour faire fonctionner un four solaire de forme parabolique, on doit installer des
h´ eliostats qui refl` etent les rayons du soleil dans une direction parall` ele ` a l’axe du
four solaire. Pour cet exercice, on identifie l’h´ eliostat ` a un miroir plan. En chaque
point de ce miroir arrive un rayon qui doit ˆ etre r´ efl´ echi parall` element `
a l’axe du
four solaire.
a) Montrer que la normale `
a l’h´ eliostat en chaque point P doit ˆ etre la bissectrice
de l’angle entre le rayon solaire en P et la parall` ele ` a l’axe du four solaire passant
par P .
b) Pour noter les directions, on peut prendre un syst` eme d’axes et se donner une
direction par un vecteur unitaire. L’extr´ emit´ e du vecteur est un point de la sph` ere
unit´ e que l’on peut exprimer en coordonn´ ees sph´ eriques
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Fig. 15.47. Deux miroirs perpendiculaires comme dans l’exercice 1
Si tous les rayons arrivent de l’infini parall` element ` a l’axe du miroir et sont r´ efl´ echis
suivant la loi de la r´ eflexion, montrer que tous les rayons r´ efl´ echis passent par le
mˆ eme point (0, 0,
1
4a ). Pour cela, utiliser le r´ esultat dans le plan avec la courbe
z = ax
2 , puis passer au cas g´ en´ eral en utilisant la sym´ etrie du probl` eme sous des
rotations par rapport `
a l’axe du parabolo¨ ıde circulaire : le rayon r´ efl´ echi est contenu
dans le plan engendr´ e par le rayon initial et l’axe du parabolo¨ ıde.
4. La propri´ et´ e remarquable de l’hyperbole Soit (D) une droite joignant un
point P d’une branche d’hyperbole au foyer situ´ e ` a l’int´ erieur de cette branche.
Soit (D
) la droite sym´ etrique de (D) par rapport `
a la tangente `
a l’hyperbole en P .
Montrer que (D
) passe par l’autre foyer de l’hyperbole (voir la figure 15.19).
5. Le t´ elescope ` a miroir liquide du projet ALPACA Le plan du t´ elescope
ALPACA qui sera implant´ e au sommet d’une montagne chilienne est donn´ e ` a la
figure 15.48. Expliquer quelles formes coniques on pourrait donner ` a ses trois miroirs
et comment placer leurs foyers pour le r´ ealiser. (Plus de d´ etails sur ce t´ elescope sont
donn´ es ` a la section 14.11 du chapitre 14.)
6. Pour faire fonctionner un four solaire de forme parabolique, on doit installer des
h´ eliostats qui refl` etent les rayons du soleil dans une direction parall` ele ` a l’axe du
four solaire. Pour cet exercice, on identifie l’h´ eliostat ` a un miroir plan. En chaque
point de ce miroir arrive un rayon qui doit ˆ etre r´ efl´ echi parall` element `
a l’axe du
four solaire.
a) Montrer que la normale `
a l’h´ eliostat en chaque point P doit ˆ etre la bissectrice
de l’angle entre le rayon solaire en P et la parall` ele ` a l’axe du four solaire passant
par P .
b) Pour noter les directions, on peut prendre un syst` eme d’axes et se donner une
direction par un vecteur unitaire. L’extr´ emit´ e du vecteur est un point de la sph` ere
unit´ e que l’on peut exprimer en coordonn´ ees sph´ eriques