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15 Flashs-science
α =
π
2
−
OP B.
Comme le triangle OP B est isoc` ele, on a
OBP =
OP B =
π
2
− α.
De plus, la somme des angles du triangle vaut π. D’o` u
OP B +
OBP +
P OB = 2(
π
2
− α) + θ = π − 2α + θ = π.
Donc, 2α = θ, ce qui prouve (i).
(ii) Soit X le milieu de P B. Alors, OX est perpendiculaire ` a P B puisque le triangle
P BO est isoc` ele, et
P X =
a
2
= R sin
θ
2
.
Puisque
θ
2 = α, alors
a = 2R sin α,
ce qui prouve (ii).
Il suffit alors de placer le piquet B ` a la distance a de P sur la droite qui forme un
angle α = arcsin
a
2R avec la droite port´ ee par SP . C’est une op´ eration facile avec les
outils d’arpentage.
15.10 Exercices
Les lois de la r´ eflexion et de la r´ efraction
1. On place deux miroirs dans le fond d’un r´ ecipient, ` a angle droit l’un par rapport `
a
l’autre. Montrer qu’un rayon vertical qui n’est pas r´ efl´ echi sur les parois du r´ ecipient
est r´ efl´ echi `
a la verticale (voir la figure 15.47).
2. L’exercice 18 du chapitre 1, qui porte sur le fonctionnement du sextant, est une
application de la loi de la r´ eflexion. Si vous ne l’avez pas d´ ej` a r´ esolu, r´ epondez
maintenant `
a la question.
Les coniques
3. On a trait´ e le probl` eme dans le plan. En fait, ce qu’on appelle « miroir parabolique »
est un parabolo¨ ıde circulaire
z = a(x
2 + y
2 ).
15 Flashs-science
α =
π
2
−
OP B.
Comme le triangle OP B est isoc` ele, on a
OBP =
OP B =
π
2
− α.
De plus, la somme des angles du triangle vaut π. D’o` u
OP B +
OBP +
P OB = 2(
π
2
− α) + θ = π − 2α + θ = π.
Donc, 2α = θ, ce qui prouve (i).
(ii) Soit X le milieu de P B. Alors, OX est perpendiculaire ` a P B puisque le triangle
P BO est isoc` ele, et
P X =
a
2
= R sin
θ
2
.
Puisque
θ
2 = α, alors
a = 2R sin α,
ce qui prouve (ii).
Il suffit alors de placer le piquet B ` a la distance a de P sur la droite qui forme un
angle α = arcsin
a
2R avec la droite port´ ee par SP . C’est une op´ eration facile avec les
outils d’arpentage.
15.10 Exercices
Les lois de la r´ eflexion et de la r´ efraction
1. On place deux miroirs dans le fond d’un r´ ecipient, ` a angle droit l’un par rapport `
a
l’autre. Montrer qu’un rayon vertical qui n’est pas r´ efl´ echi sur les parois du r´ ecipient
est r´ efl´ echi `
a la verticale (voir la figure 15.47).
2. L’exercice 18 du chapitre 1, qui porte sur le fonctionnement du sextant, est une
application de la loi de la r´ eflexion. Si vous ne l’avez pas d´ ej` a r´ esolu, r´ epondez
maintenant `
a la question.
Les coniques
3. On a trait´ e le probl` eme dans le plan. En fait, ce qu’on appelle « miroir parabolique »
est un parabolo¨ ıde circulaire
z = a(x
2 + y
2 ).