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15 Flashs-science
(e
i
π
5 )
5 = e
iπ = cos π + i sin π = −1.
(15.26)
D’autre part,
(e
i
π
5 )
5 =
cos
π
5
+ i sin
π
5
5
.
En posant c = cos
π
5 et s = sin
π
5 , on obtient
(e
i
π
5 )
5 = c
5 + 5ic
4 s − 10c
3 s
2
− 10ic
2 s
3 + 5cs
4 + is
5 .
(15.27)
En ´ egalant partie r´ eelle et partie imaginaire de (15.26) et (15.27), on obtient le syst` eme
de deux ´ equations
c
5
− 10c
3 s
2 + 5cs
4 = −1,
5c
4 s − 10c
2 s
3 + s
5 = 0.
(15.28)
La seconde ´ equation de (15.28) devient apr` es factorisation s(5c
4
− 10c
2 s
2 + s
4 ) = 0.
Comme s = 0, on obtient
5c
4
− 10c
2 s
2 + s
4 = 0.
(15.29)
On pose C = cos
2π
5 . On a les formules trigonom´ etriques suivantes :
c
2 =
1 + C
2
,
s
2 =
1 − C
2
.
(15.30)
En rempla¸ cant dans (15.29), on obtient
16C
2 + 8C − 4 = 4(4C
2 + 2C − 1) = 0.
Cette ´ equation a une racine positive et une racine n´ egative. Comme C = cos
2π
5 > 0, on
a
C = cos
2π
5
=
−1 +
√
5
4
.
De l` a et de (15.30), on d´ eduit
c
2 =
3 +
√
5
8
et
s
2 =
5 −
√
5
8
.
(15.31)
La premi` ere ´ equation de (15.28) peut s’´ ecrire
c(c
4
− 10c
2 s
2 + 5s
4 ) = −1
d’o` u l’on d´ eduit
c = −
1
c 4 − 10c 2 s 2 + 5s 4 = −
1
1 −
√
5
=
1 +
√
5
4
.