15.8 Le pavage r´ egulier ` a 12 pentagones sph´ eriques
563
Dans notre cas, r, le rayon du cercle circonscrit ` a une face pentagonale, est exprim´ e
par (15.24), ce qui donne
h = R
1 −
1
3 sin
2 2π
5
.
Alors,
R − h = R
1 −
1 −
1
3 sin
2 2π
5
.
En utilisant une calculatrice, on obtient r
≈ 0,641R. Pour r = 25 cm, ceci donne
r
≈ 16,0 cm.
La deuxi` eme m´ ethode de tra¸ cage On choisit sur la sph` ere un point N qui sera
au centre d’un pentagone sph´ erique et on trace sur la sph` ere le cercle C en pla¸ cant la
pointe s` eche du compas en N et en donnant au compas une ouverture de r
. On choisit
sur ce cercle un point A 1 qui sera un sommet du dod´ eca` edre. On place la pointe s` eche
du compas en A 1 et on lui donne une ouverture de a. On trace deux petits arcs de cercle
qui intersectent C. Ces points d’intersection sont deux autres sommets du dod´ eca` edre,
A 2 et A 3 . En pla¸ cant la pointe s` eche successivement en A 2 et en A 3 avec la mˆ eme
ouverture de compas, on trouve par it´ eration les deux derniers sommets du dod´ eca` edre
qui forment le pentagone inscrit dans le cercle C.
On cherche ensuite le centre d’un deuxi` eme pentagone sph´ erique. Un tel centre est,
par exemple, situ´ e ` a la distance r
des points A 1 et A 2 : pour cela, on donne au compas
une ouverture de r
et on place la pointe s` eche du compas successivement en A 1 et en
A 2 . Les deux cercles que l’on trace se coupent en deux points. Le premier est le point
N que l’on connaˆ ıt d´ ej` a, et le deuxi` eme est le point cherch´ e au centre du deuxi` eme
pentagone sph´ erique qui a pour sommets A 1 et A 2 . On it` ere jusqu’` a ce qu’on ait trouv´ e
tous les sommets et tous les centres.
Il nous reste un dernier morceau de jolies math´ ematiques connu des Anciens. La
formule de a fait intervenir cos
π
5 que nous pourrions calculer avec une calculatrice. En
fait, on va montrer que :
Th´ eor` eme 15.21
cos
π
5
=
1 +
√
5
4
.
Preuve La preuve utilise la formule d’Euler pour les nombres complexes :
e
iθ = cos θ + i sin θ.
On a donc
e
i
π
5 = cos
π
5
+ i sin
π
5
.
De plus, en utilisant les propri´ et´ es des exponentielles, on a
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Dans notre cas, r, le rayon du cercle circonscrit ` a une face pentagonale, est exprim´ e
par (15.24), ce qui donne
h = R
1 −
1
3 sin
2 2π
5
.
Alors,
R − h = R
1 −
1 −
1
3 sin
2 2π
5
.
En utilisant une calculatrice, on obtient r
≈ 0,641R. Pour r = 25 cm, ceci donne
r
≈ 16,0 cm.
La deuxi` eme m´ ethode de tra¸ cage On choisit sur la sph` ere un point N qui sera
au centre d’un pentagone sph´ erique et on trace sur la sph` ere le cercle C en pla¸ cant la
pointe s` eche du compas en N et en donnant au compas une ouverture de r
. On choisit
sur ce cercle un point A 1 qui sera un sommet du dod´ eca` edre. On place la pointe s` eche
du compas en A 1 et on lui donne une ouverture de a. On trace deux petits arcs de cercle
qui intersectent C. Ces points d’intersection sont deux autres sommets du dod´ eca` edre,
A 2 et A 3 . En pla¸ cant la pointe s` eche successivement en A 2 et en A 3 avec la mˆ eme
ouverture de compas, on trouve par it´ eration les deux derniers sommets du dod´ eca` edre
qui forment le pentagone inscrit dans le cercle C.
On cherche ensuite le centre d’un deuxi` eme pentagone sph´ erique. Un tel centre est,
par exemple, situ´ e ` a la distance r
des points A 1 et A 2 : pour cela, on donne au compas
une ouverture de r
et on place la pointe s` eche du compas successivement en A 1 et en
A 2 . Les deux cercles que l’on trace se coupent en deux points. Le premier est le point
N que l’on connaˆ ıt d´ ej` a, et le deuxi` eme est le point cherch´ e au centre du deuxi` eme
pentagone sph´ erique qui a pour sommets A 1 et A 2 . On it` ere jusqu’` a ce qu’on ait trouv´ e
tous les sommets et tous les centres.
Il nous reste un dernier morceau de jolies math´ ematiques connu des Anciens. La
formule de a fait intervenir cos
π
5 que nous pourrions calculer avec une calculatrice. En
fait, on va montrer que :
Th´ eor` eme 15.21
cos
π
5
=
1 +
√
5
4
.
Preuve La preuve utilise la formule d’Euler pour les nombres complexes :
e
iθ = cos θ + i sin θ.
On a donc
e
i
π
5 = cos
π
5
+ i sin
π
5
.
De plus, en utilisant les propri´ et´ es des exponentielles, on a