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15 Flashs-science
L’ingr´ edient qui nous manque est la distance entre le centre (sur la sph` ere) d’un
pentagone sph´ erique et un des sommets du pentagone. Cette distance est l’ouverture
qu’on doit donner au compas dont la pointe s` eche est au centre du pentagone sph´ erique
pour tracer le cercle circonscrit ` a la face correspondante du pentagone. C’est un cas
particulier de la proposition suivante.
Proposition 15.20 On veut tracer sur une sph` ere de rayon R un cercle de rayon r.
Pour cela, on place la pointe s` eche du compas en un point N de la sph` ere et on donne
au compas une ouverture de
r
=
r 2 +
R −
R 2 − r 2
2
.
(15.25)
Preuve On suppose que le cercle de rayon r que l’on veut tracer se situe dans un
plan horizontal (voir la figure 15.45). On doit donc calculer la longueur r
= |N A|. On
Fig. 15.45. Pour tracer le cercle centr´ e en P de rayon r, on met la pointe s` eche du compas en
N et on donne au compas l’ouverture r
.
y va de proche en proche en appliquant le th´ eor` eme de Pythagore aux deux triangles
rectangles OP A et AP N . Ceci donne
h =
R 2 − r 2 ,
et
r
=
r 2 + (R − h) 2 ,
d’o` u le r´ esultat.