15.8 Le pavage r´ egulier ` a 12 pentagones sph´ eriques
561
Le tra¸ cage des sommets du dod´ eca` edre Nous avons maintenant les ingr´ edients
pour passer au tra¸ cage proprement dit. On choisit un point P 1 de la sph` ere qui sera un
sommet du dod´ eca` edre. Chaque sommet est adjacent ` a trois autres sommets qui sont
situ´ es ` a la distance a de P 1 . On trace donc sur la sph` ere le cercle C 1 en mettant la
pointe s` eche du compas en P 1 et en donnant au compas une ouverture de a. (P 1 n’est
pas dans le plan de ce cercle !) On choisit un point P 2 du cercle C 1 qui sera un deuxi` eme
sommet du dod´ eca` edre. `
A partir de ce moment-l` a tous les sommets sont d´ etermin´ es
de mani` ere unique. Le dod´ eca` edre a deux autres sommets, P 3 et P 4 , sur le cercle C 1 .
Les trois points P 2 , P 3 et P 4 divisent le cercle C 1 en trois arcs ´ egaux. Ils sont situ´ es
` a la distance d les uns des autres. Les points P 3 et P 4 sont donc les intersections de
C 1 avec le cercle C 2 qu’on trace en mettant la pointe s` eche du compas en P 2 et en lui
donnant une ouverture de d. On it` ere le proc´ ed´ e en prenant le cercle trac´ e avec la pointe
s` eche en P 2 et une ouverture de a. Sur ce cercle se trouvent deux nouveaux sommets du
dod´ eca` edre. Ils sont ` a la distance d de P 1 . On it` ere jusqu’` a ce qu’on ait localis´ e les 20
sommets.
Dans notre exemple, nous avions R = 25 cm, ce qui donne a ≈ 17,9 cm et d ≈
28,9 cm.
La m´ ethode pr´ ec´ edente nous permet de tracer les sommets des pentagones sph´ eriques,
mais ne nous permet pas de tracer les centres de ces mˆ emes pentagones. Pour pouvoir
aussi tracer les centres des pentagones, il nous faut un ingr´ edient de plus. On proc` ede en
deux ´ etapes. On commence par chercher le rayon r du cercle circonscrit ` a un pentagone
de cˆ ot´ e a (voir la figure 15.44). Nous laissons pour l’exercice 40 la preuve que ce rayon
Fig. 15.44. Rayon du cercle circonscrit au pentagone
r est donn´ e par
r =
a
2 sin
π
5
.
On a donc
r =
R
2
√
3 sin
π
5 cos
π
5
=
R
√
3 sin
2π
5
.
(15.24)
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Le tra¸ cage des sommets du dod´ eca` edre Nous avons maintenant les ingr´ edients
pour passer au tra¸ cage proprement dit. On choisit un point P 1 de la sph` ere qui sera un
sommet du dod´ eca` edre. Chaque sommet est adjacent ` a trois autres sommets qui sont
situ´ es ` a la distance a de P 1 . On trace donc sur la sph` ere le cercle C 1 en mettant la
pointe s` eche du compas en P 1 et en donnant au compas une ouverture de a. (P 1 n’est
pas dans le plan de ce cercle !) On choisit un point P 2 du cercle C 1 qui sera un deuxi` eme
sommet du dod´ eca` edre. `
A partir de ce moment-l` a tous les sommets sont d´ etermin´ es
de mani` ere unique. Le dod´ eca` edre a deux autres sommets, P 3 et P 4 , sur le cercle C 1 .
Les trois points P 2 , P 3 et P 4 divisent le cercle C 1 en trois arcs ´ egaux. Ils sont situ´ es
` a la distance d les uns des autres. Les points P 3 et P 4 sont donc les intersections de
C 1 avec le cercle C 2 qu’on trace en mettant la pointe s` eche du compas en P 2 et en lui
donnant une ouverture de d. On it` ere le proc´ ed´ e en prenant le cercle trac´ e avec la pointe
s` eche en P 2 et une ouverture de a. Sur ce cercle se trouvent deux nouveaux sommets du
dod´ eca` edre. Ils sont ` a la distance d de P 1 . On it` ere jusqu’` a ce qu’on ait localis´ e les 20
sommets.
Dans notre exemple, nous avions R = 25 cm, ce qui donne a ≈ 17,9 cm et d ≈
28,9 cm.
La m´ ethode pr´ ec´ edente nous permet de tracer les sommets des pentagones sph´ eriques,
mais ne nous permet pas de tracer les centres de ces mˆ emes pentagones. Pour pouvoir
aussi tracer les centres des pentagones, il nous faut un ingr´ edient de plus. On proc` ede en
deux ´ etapes. On commence par chercher le rayon r du cercle circonscrit ` a un pentagone
de cˆ ot´ e a (voir la figure 15.44). Nous laissons pour l’exercice 40 la preuve que ce rayon
Fig. 15.44. Rayon du cercle circonscrit au pentagone
r est donn´ e par
r =
a
2 sin
π
5
.
On a donc
r =
R
2
√
3 sin
π
5 cos
π
5
=
R
√
3 sin
2π
5
.
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