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15 Flashs-science
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Fig. 15.42. Les cinq cubes inscrits sur le dod´ eca` edre
• On voit d´ ej` a poindre un probl` eme plus facile : chacun de ces cubes est inscrit dans
la sph` ere. On cherche donc l’arˆ ete d d’un cube inscrit dans une sph` ere de rayon
R. Nous laissons le calcul pour l’exercice 39 : le r´ esultat est
d =
2
√
3
R.
• Il faut maintenant trouver la relation entre a et d. On est ramen´ e ` a un probl` eme
plan : ´ etant donn´ e un pentagone de cˆ ot´ e a, trouver la longueur de sa diagonale d
(voir la figure 15.43). La formule est ´ evidente d’apr` es la figure d` es qu’on a montr´ e
que les angles int´ erieurs d’un pentagone sont de
3π
5 . Nous laissons cette partie
pour l’exercice 36. Cette longueur est donn´ ee par
Fig. 15.43. Diagonale du pentagone
d = 2a cos
π
5
.
Nous savons donc maintenant que
a =
d
2 cos
π
5
=
R
√
3 cos
π
5
.
15 Flashs-science
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Fig. 15.42. Les cinq cubes inscrits sur le dod´ eca` edre
• On voit d´ ej` a poindre un probl` eme plus facile : chacun de ces cubes est inscrit dans
la sph` ere. On cherche donc l’arˆ ete d d’un cube inscrit dans une sph` ere de rayon
R. Nous laissons le calcul pour l’exercice 39 : le r´ esultat est
d =
2
√
3
R.
• Il faut maintenant trouver la relation entre a et d. On est ramen´ e ` a un probl` eme
plan : ´ etant donn´ e un pentagone de cˆ ot´ e a, trouver la longueur de sa diagonale d
(voir la figure 15.43). La formule est ´ evidente d’apr` es la figure d` es qu’on a montr´ e
que les angles int´ erieurs d’un pentagone sont de
3π
5 . Nous laissons cette partie
pour l’exercice 36. Cette longueur est donn´ ee par
Fig. 15.43. Diagonale du pentagone
d = 2a cos
π
5
.
Nous savons donc maintenant que
a =
d
2 cos
π
5
=
R
√
3 cos
π
5
.