15.8 Le pavage r´ egulier ` a 12 pentagones sph´ eriques
559
Fig. 15.41. Un dod´ eca` edre
pr´ ecis, il faut utiliser un compas, calculer l’ouverture `
a lui donner et localiser l’endroit
o` u placer la pointe s` eche (voir l’exercice 41).
Utiliser un compas sur la sph` ere Sur la sph` ere, si on plante la pointe s` eche d’un
compas en un point N et qu’on donne une ouverture r
au compas, on trace un cercle
de rayon r = r
(voir la figure 15.45). Le v´ eritable centre P du cercle est ` a l’int´ erieur de
la sph` ere et n’est donc pas situ´ e en N . Par contre, tous les points du cercle que nous
avons trac´ e sur la sph` ere sont ` a la distance r
de N . Nous devrons faire attention `
a cette
subtilit´ e dans notre d´ emarche. La relation entre r et r
d´ epend du rayon R de la sph` ere.
Elle sera d´ eduite ult´ erieurement.
Voici la solution propos´ ee pour tracer les sommets du dod´ eca` edre sur la sph` ere
circonscrite. Commen¸ cons par la liste des symboles que nous utiliserons :
• R est le rayon de la sph` ere ;
• a est l’arˆ ete du dod´ eca` edre inscrit dans la sph` ere ;
• d est la diagonale d’une face pentagonale du dod´ eca` edre ;
• r est le rayon du cercle circonscrit ` a une des faces pentagonales (un pentagone
plan) ;
• r
est l’ouverture qu’on doit donner au compas pour tracer sur la sph` ere de rayon
R un cercle de rayon r.
Les ingr´ edients pour tracer les sommets du dod´ eca` edre On a besoin de calculer
l’arˆ ete a du dod´ eca` edre et la diagonale d d’une face pentagonale du dod´ eca` edre en
fonction du rayon R de la sph` ere. Cela semble un probl` eme tr` es difficile.
• Fort heureusement, on utilise pour cela une propri´ et´ e remarquable du dod´ eca` edre :
les diagonales des pentagones sont les arˆ etes de cubes inscrits sur le dod´ eca` edre.
On a cinq tels cubes (voir la figure 15.42 et l’exercice 44).
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Fig. 15.41. Un dod´ eca` edre
pr´ ecis, il faut utiliser un compas, calculer l’ouverture `
a lui donner et localiser l’endroit
o` u placer la pointe s` eche (voir l’exercice 41).
Utiliser un compas sur la sph` ere Sur la sph` ere, si on plante la pointe s` eche d’un
compas en un point N et qu’on donne une ouverture r
au compas, on trace un cercle
de rayon r = r
(voir la figure 15.45). Le v´ eritable centre P du cercle est ` a l’int´ erieur de
la sph` ere et n’est donc pas situ´ e en N . Par contre, tous les points du cercle que nous
avons trac´ e sur la sph` ere sont ` a la distance r
de N . Nous devrons faire attention `
a cette
subtilit´ e dans notre d´ emarche. La relation entre r et r
d´ epend du rayon R de la sph` ere.
Elle sera d´ eduite ult´ erieurement.
Voici la solution propos´ ee pour tracer les sommets du dod´ eca` edre sur la sph` ere
circonscrite. Commen¸ cons par la liste des symboles que nous utiliserons :
• R est le rayon de la sph` ere ;
• a est l’arˆ ete du dod´ eca` edre inscrit dans la sph` ere ;
• d est la diagonale d’une face pentagonale du dod´ eca` edre ;
• r est le rayon du cercle circonscrit ` a une des faces pentagonales (un pentagone
plan) ;
• r
est l’ouverture qu’on doit donner au compas pour tracer sur la sph` ere de rayon
R un cercle de rayon r.
Les ingr´ edients pour tracer les sommets du dod´ eca` edre On a besoin de calculer
l’arˆ ete a du dod´ eca` edre et la diagonale d d’une face pentagonale du dod´ eca` edre en
fonction du rayon R de la sph` ere. Cela semble un probl` eme tr` es difficile.
• Fort heureusement, on utilise pour cela une propri´ et´ e remarquable du dod´ eca` edre :
les diagonales des pentagones sont les arˆ etes de cubes inscrits sur le dod´ eca` edre.
On a cinq tels cubes (voir la figure 15.42 et l’exercice 44).