38
1 Positionnement
8. Une nanoseconde est un milliardi` eme de seconde. Calculer la distance parcourue par
la lumi` ere en 100 nanosecondes et en d´ eduire la pr´ ecision donn´ ee par une mesure
de temps de parcours d’un signal `
a 100 nanosecondes pr` es.
9. Calculer la fonction de densit´ e f (I) de la variable X qui repr´ esente l’amp´ erage des
coups de foudre lorsque P (I) est la fonction de Popolansky. Quel est le mode de
cette distribution, c’est-` a-dire la valeur de I o` u cette densit´ e est maximum ?
10. Dans d’autres r´ egions, on utilise plutˆ ot la fonction d’Anderson–Erikson pour la
fonction P donn´ ee en (1.15), `
a savoir M = 31 et K = 2, 6. Contrairement `
a la
fonction de Popolansky, elle exige d’utiliser des outils num´ eriques.
a) Calculer la m´ ediane de cette nouvelle distribution.
b) Calculer le 90
e percentile, c’est-` a-dire la valeur de I telle que Prob(X ≤ I) = 0, 9.
c) Si 58 % des coups de foudre d´ etect´ es ont un amp´ erage sup´ erieur ` a la m´ ediane,
calculer le pourcentage de coups de foudre non d´ etect´ es. En faisant l’hypoth` ese
suppl´ ementaire que, dans la r´ egion consid´ er´ ee, ce sont les coups de foudre de plus
faible amp´ erage qui ne sont pas d´ etect´ es, calculer le seuil de d´ etection, c’est-` a-dire
la valeur I 0 de l’amp´ erage au del` a de laquelle les coups de foudre sont d´ etect´ es.
d) Calculer le mode de cette distribution.
Les registres `
a d´ ecalage
11. Montrer que, si une suite {a n } est p´ eriodique de p´ eriode N , c’est-` a-dire que
a n+N = a n , alors sa p´ eriode minimale, soit le plus petit entier M tel que
a n+M = a n pour tout n, est un diviseur de N .
12. a) Montrer que le polynˆ ome x 4 + x 3 + 1 est primitif sur F 2 .
b) Calculer la suite g´ en´ er´ ee par le registre ` a d´ ecalage si on prend (q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ) =
(1, 0, 0, 1) et les conditions initiales (a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ) = (T (b), T (xb), T (x
2 b),
T (x
3 b)) avec b = 1. V´ erifier qu’elle a la p´ eriode 15.
c) V´ erifier que cette suite n’est pas la mˆ eme que celle de l’exemple 1.5.
d) Calculer la corr´ elation entre cette suite et les suites translat´ ees de la suite de
l’exemple 1.5.
13. Montrer que le polynˆ ome x
4 + x
3 + x
2 + x + 1 est irr´ eductible, mais n’est
pas primitif sur F 2 . Calculer la suite g´ en´ er´ ee par le registre ` a d´ ecalage si on
prend (q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ) = (1, 0, 0, 1) et les conditions initiales (a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ) = (T (b),
T (xb), T (x
2 b), T (x
3 b)) avec b = 1. V´ erifier que sa p´ eriode est inf´ erieure ` a 15.
Quelques mani` eres ´ el´ ementaires de connaˆ ıtre sa position
Avant l’invention du GPS, l’homme utilisait des m´ ethodes (math´ ematiques !) et outils
´ el´ ementaires pour connaˆ ıtre sa position : la position de l’´ etoile polaire, la position du
soleil `
a midi, le sextant, etc. Certaines continuent `
a ˆ etre utilis´ ees aujourd’hui. En
effet, mˆ eme si le GPS est un instrument beaucoup plus pr´ ecis et facile d’utilisation,
1 Positionnement
8. Une nanoseconde est un milliardi` eme de seconde. Calculer la distance parcourue par
la lumi` ere en 100 nanosecondes et en d´ eduire la pr´ ecision donn´ ee par une mesure
de temps de parcours d’un signal `
a 100 nanosecondes pr` es.
9. Calculer la fonction de densit´ e f (I) de la variable X qui repr´ esente l’amp´ erage des
coups de foudre lorsque P (I) est la fonction de Popolansky. Quel est le mode de
cette distribution, c’est-` a-dire la valeur de I o` u cette densit´ e est maximum ?
10. Dans d’autres r´ egions, on utilise plutˆ ot la fonction d’Anderson–Erikson pour la
fonction P donn´ ee en (1.15), `
a savoir M = 31 et K = 2, 6. Contrairement `
a la
fonction de Popolansky, elle exige d’utiliser des outils num´ eriques.
a) Calculer la m´ ediane de cette nouvelle distribution.
b) Calculer le 90
e percentile, c’est-` a-dire la valeur de I telle que Prob(X ≤ I) = 0, 9.
c) Si 58 % des coups de foudre d´ etect´ es ont un amp´ erage sup´ erieur ` a la m´ ediane,
calculer le pourcentage de coups de foudre non d´ etect´ es. En faisant l’hypoth` ese
suppl´ ementaire que, dans la r´ egion consid´ er´ ee, ce sont les coups de foudre de plus
faible amp´ erage qui ne sont pas d´ etect´ es, calculer le seuil de d´ etection, c’est-` a-dire
la valeur I 0 de l’amp´ erage au del` a de laquelle les coups de foudre sont d´ etect´ es.
d) Calculer le mode de cette distribution.
Les registres `
a d´ ecalage
11. Montrer que, si une suite {a n } est p´ eriodique de p´ eriode N , c’est-` a-dire que
a n+N = a n , alors sa p´ eriode minimale, soit le plus petit entier M tel que
a n+M = a n pour tout n, est un diviseur de N .
12. a) Montrer que le polynˆ ome x 4 + x 3 + 1 est primitif sur F 2 .
b) Calculer la suite g´ en´ er´ ee par le registre ` a d´ ecalage si on prend (q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ) =
(1, 0, 0, 1) et les conditions initiales (a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ) = (T (b), T (xb), T (x
2 b),
T (x
3 b)) avec b = 1. V´ erifier qu’elle a la p´ eriode 15.
c) V´ erifier que cette suite n’est pas la mˆ eme que celle de l’exemple 1.5.
d) Calculer la corr´ elation entre cette suite et les suites translat´ ees de la suite de
l’exemple 1.5.
13. Montrer que le polynˆ ome x
4 + x
3 + x
2 + x + 1 est irr´ eductible, mais n’est
pas primitif sur F 2 . Calculer la suite g´ en´ er´ ee par le registre ` a d´ ecalage si on
prend (q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ) = (1, 0, 0, 1) et les conditions initiales (a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ) = (T (b),
T (xb), T (x
2 b), T (x
3 b)) avec b = 1. V´ erifier que sa p´ eriode est inf´ erieure ` a 15.
Quelques mani` eres ´ el´ ementaires de connaˆ ıtre sa position
Avant l’invention du GPS, l’homme utilisait des m´ ethodes (math´ ematiques !) et outils
´ el´ ementaires pour connaˆ ıtre sa position : la position de l’´ etoile polaire, la position du
soleil `
a midi, le sextant, etc. Certaines continuent `
a ˆ etre utilis´ ees aujourd’hui. En
effet, mˆ eme si le GPS est un instrument beaucoup plus pr´ ecis et facile d’utilisation,