1.6 Exercices
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Les dur´ ees pr´ e-´ etablies sont choisies de telle sorte que l’on ne puisse avoir de doute
sur la station d’origine des signaux capt´ es dans la zone couverte par ces stations.
Ici, le principe est que le r´ ecepteur Loran re¸ coit les signaux des stations ´ emettrices
et mesure le d´ ephasage entre les signaux. Comme on a entre trois et cinq signaux,
on a au moins deux d´ ephasages ind´ ependants.
a) Expliquer comment, en connaissant deux d´ ephasages, on peut d´ eterminer sa
position.
b) En pratique, le d´ ephasage entre la premi` ere antenne et la deuxi` eme antenne
permet de localiser le r´ ecepteur sur une branche d’hyperbole. Pourquoi ?
Commentaire Ces lignes hyperboliques de position sont dessin´ ees sur les cartes
marines. On connaˆ ıt donc sa position sur une carte marine comme point d’intersection de deux branches d’hyperboles dessin´ ees sur la carte.
3. Le fonctionnement du GPS requiert de connaˆ ıtre le temps de parcours des signaux
de quatre satellites jusqu’au r´ ecepteur. Si, cependant, on met la contrainte que le
r´ ecepteur est ` a l’altitude 0, soit exactement `
a la surface de la Terre (identifi´ ee ` a une
sph` ere de rayon R), montrer qu’alors, il suffit de connaˆ ıtre le temps de parcours des
signaux de trois satellites jusqu’au r´ ecepteur pour calculer exactement la position
du r´ ecepteur. Expliquer comment le GPS fait les calculs.
4. Beaucoup de m´ et´ eorites rentrant dans l’atmosph` ere se d´ esint` egrent dans une violente explosion terminale. Cette explosion g´ en` ere une onde de choc se propageant
dans toutes les directions ` a la vitesse du son v. L’onde de choc est d´ etect´ ee par des
s´ eismographes install´ es dans des stations au sol.
Si quatre stations (poss´ edant des horloges parfaitement synchronis´ ees) notent
l’heure d’arriv´ ee de l’onde de choc, expliquer comment on peut trouver la position
et l’heure de l’explosion.
5. Lorsque vous rentrez une carte dans un GPS ou dans un logiciel, elle n’est pas
n´ ecessairement munie d’un syst` eme de coordonn´ ees. Vous ne savez pas non plus
n´ ecessairement dans quelle direction est le nord. Expliquer pourquoi, pour munir
une carte d’un syst` eme de coordonn´ ees permettant de rep´ erer des points, il suffit
de rentrer les coordonn´ ees de trois points non align´ es. Quelle hypoth` ese faites-vous
pour r´ esoudre le probl` eme ?
Coups de foudre et orages
6. Quel est le nombre minimum de d´ etecteurs qui doivent capter le coup de foudre
pour pouvoir localiser celui-ci ? Donner le syst` eme d’´ equations que doit r´ esoudre le
syst` eme central.
7. `
A partir des temps t 1 et t 2 enregistr´ es par les oscilloperturbographes situ´ es aux deux
bouts d’une ligne ´ electrique de longueur L et signalant l’occurrence d’un d´ efaut sur
une ligne, d´ ecrire le lieu du d´ efaut sur la ligne.
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Les dur´ ees pr´ e-´ etablies sont choisies de telle sorte que l’on ne puisse avoir de doute
sur la station d’origine des signaux capt´ es dans la zone couverte par ces stations.
Ici, le principe est que le r´ ecepteur Loran re¸ coit les signaux des stations ´ emettrices
et mesure le d´ ephasage entre les signaux. Comme on a entre trois et cinq signaux,
on a au moins deux d´ ephasages ind´ ependants.
a) Expliquer comment, en connaissant deux d´ ephasages, on peut d´ eterminer sa
position.
b) En pratique, le d´ ephasage entre la premi` ere antenne et la deuxi` eme antenne
permet de localiser le r´ ecepteur sur une branche d’hyperbole. Pourquoi ?
Commentaire Ces lignes hyperboliques de position sont dessin´ ees sur les cartes
marines. On connaˆ ıt donc sa position sur une carte marine comme point d’intersection de deux branches d’hyperboles dessin´ ees sur la carte.
3. Le fonctionnement du GPS requiert de connaˆ ıtre le temps de parcours des signaux
de quatre satellites jusqu’au r´ ecepteur. Si, cependant, on met la contrainte que le
r´ ecepteur est ` a l’altitude 0, soit exactement `
a la surface de la Terre (identifi´ ee ` a une
sph` ere de rayon R), montrer qu’alors, il suffit de connaˆ ıtre le temps de parcours des
signaux de trois satellites jusqu’au r´ ecepteur pour calculer exactement la position
du r´ ecepteur. Expliquer comment le GPS fait les calculs.
4. Beaucoup de m´ et´ eorites rentrant dans l’atmosph` ere se d´ esint` egrent dans une violente explosion terminale. Cette explosion g´ en` ere une onde de choc se propageant
dans toutes les directions ` a la vitesse du son v. L’onde de choc est d´ etect´ ee par des
s´ eismographes install´ es dans des stations au sol.
Si quatre stations (poss´ edant des horloges parfaitement synchronis´ ees) notent
l’heure d’arriv´ ee de l’onde de choc, expliquer comment on peut trouver la position
et l’heure de l’explosion.
5. Lorsque vous rentrez une carte dans un GPS ou dans un logiciel, elle n’est pas
n´ ecessairement munie d’un syst` eme de coordonn´ ees. Vous ne savez pas non plus
n´ ecessairement dans quelle direction est le nord. Expliquer pourquoi, pour munir
une carte d’un syst` eme de coordonn´ ees permettant de rep´ erer des points, il suffit
de rentrer les coordonn´ ees de trois points non align´ es. Quelle hypoth` ese faites-vous
pour r´ esoudre le probl` eme ?
Coups de foudre et orages
6. Quel est le nombre minimum de d´ etecteurs qui doivent capter le coup de foudre
pour pouvoir localiser celui-ci ? Donner le syst` eme d’´ equations que doit r´ esoudre le
syst` eme central.
7. `
A partir des temps t 1 et t 2 enregistr´ es par les oscilloperturbographes situ´ es aux deux
bouts d’une ligne ´ electrique de longueur L et signalant l’occurrence d’un d´ efaut sur
une ligne, d´ ecrire le lieu du d´ efaut sur la ligne.