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15 Flashs-science
Connaissant les points P i et O i , nous pouvons d´ eterminer la droite (D i ) joignant ces
deux points. Ceci permet de calculer la position de P , qui est l’unique point d’intersection des droites (D 1 ) et (D 2 ).
Faisons le d´ etail des calculs. Nous choisissons un syst` eme d’axes dans lequel O 1 et
O 2 sont situ´ es sur l’axe des x ; l’origine est au milieu du segment O 1 O 2 . L’unit´ e sur
l’axe des x est telle que O 1 = (−1, 0, 0) et O 2 = (1, 0, 0). L’axe des y est horizontal, et
son unit´ e est choisie de telle sorte que le plan de projection est y = 1. L’axe des z est
vertical, et son unit´ e peut ˆ etre choisie arbitrairement. Alors, les coordonn´ ees des points
P i sont (x i , 1, z i ), i = 1, 2. Elles sont connues puisqu’on peut les mesurer sur les deux
photos.
Soit (a, b, c) les coordonn´ ees de P . Ce sont nos inconnues. Pour les trouver, nous
allons utiliser les ´ equations param´ etriques des droites (D 1 ) et (D 2 ). La droite (D 1 )
passe par O 1 , et son vecteur directeur est le vecteur
− −− →
O 1 P 1 = (x 1 + 1, 1, z 1 ). C’est donc
l’ensemble des points
(D 1 ) = {(−1, 0, 0) + t 1 (x 1 + 1, 1, z 1 )|t 1 ∈ R}.
De mˆ eme,
− −− →
O 2 P 2 = (x 2 − 1, 1, z 2 ) et donc,
(D 2 ) = {(1, 0, 0) + t 2 (x 2 − 1, 1, z 2 )|t 2 ∈ R}.
Le point P est le point commun ` a (D 1 ) et (D 2 ). Pour le trouver, on cherche t 1 et t 2 tels
que les coordonn´ ees du point de (D 1 ) correspondant ` a t = t 1 co¨ ıncident avec celles du
point de (D 2 ) correspondant ` a t = t 2 :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−1 + t 1 (x 1 + 1) = 1 + t 2 (x 2 − 1),
t 1 = t 2 ,
t 1 z 1 = t 2 z 2 .
(15.13)
La deuxi` eme ´ equation nous donne t 1 = t 2 . En rempla¸ cant dans la premi` ere ´ equation,
on obtient
t 1 =
2
x 1 − x 2 + 2
.
(15.14)
Remarquons que x 1 − x 2 + 2 > 0, donc t 1 est positif. En effet, en regardant la figure (15.35), on voit que la distance entre P 1 et P 2 , qui est donn´ ee par x 2 − x 1 , est plus
petite que la distance entre O 1 et O 2 , qui est 2. Consid´ erons maintenant la troisi` eme
´ equation de (15.13). Puisque t 1 = t 2 = 0, elle nous dit que z 1 = z 2 : c’est la condition
pour que les points P 1 et P 2 soient la projection d’un mˆ eme point P . En effet, si on
prend deux points quelconques P 1 et P 2 , les droites (D 1 ) et (D 2 ) ne se couperont pas
en g´ en´ eral. La condition z 1 = z 2 dit que les deux droites sont situ´ ees dans le mˆ eme plan
z = z 1 y et donc, se couperont si x 1 − x 2 = 2.
On a maintenant localis´ e le point P :
(a, b, c) = (−1, 0, 0) +
2
x1−x2+2 (x 1 + 1, 1, z 1 )
=
x1+x2
x1−x2+2 ,
2
x1−x2+2 ,
2z1
x1−x2+2
.
15 Flashs-science
Connaissant les points P i et O i , nous pouvons d´ eterminer la droite (D i ) joignant ces
deux points. Ceci permet de calculer la position de P , qui est l’unique point d’intersection des droites (D 1 ) et (D 2 ).
Faisons le d´ etail des calculs. Nous choisissons un syst` eme d’axes dans lequel O 1 et
O 2 sont situ´ es sur l’axe des x ; l’origine est au milieu du segment O 1 O 2 . L’unit´ e sur
l’axe des x est telle que O 1 = (−1, 0, 0) et O 2 = (1, 0, 0). L’axe des y est horizontal, et
son unit´ e est choisie de telle sorte que le plan de projection est y = 1. L’axe des z est
vertical, et son unit´ e peut ˆ etre choisie arbitrairement. Alors, les coordonn´ ees des points
P i sont (x i , 1, z i ), i = 1, 2. Elles sont connues puisqu’on peut les mesurer sur les deux
photos.
Soit (a, b, c) les coordonn´ ees de P . Ce sont nos inconnues. Pour les trouver, nous
allons utiliser les ´ equations param´ etriques des droites (D 1 ) et (D 2 ). La droite (D 1 )
passe par O 1 , et son vecteur directeur est le vecteur
− −− →
O 1 P 1 = (x 1 + 1, 1, z 1 ). C’est donc
l’ensemble des points
(D 1 ) = {(−1, 0, 0) + t 1 (x 1 + 1, 1, z 1 )|t 1 ∈ R}.
De mˆ eme,
− −− →
O 2 P 2 = (x 2 − 1, 1, z 2 ) et donc,
(D 2 ) = {(1, 0, 0) + t 2 (x 2 − 1, 1, z 2 )|t 2 ∈ R}.
Le point P est le point commun ` a (D 1 ) et (D 2 ). Pour le trouver, on cherche t 1 et t 2 tels
que les coordonn´ ees du point de (D 1 ) correspondant ` a t = t 1 co¨ ıncident avec celles du
point de (D 2 ) correspondant ` a t = t 2 :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−1 + t 1 (x 1 + 1) = 1 + t 2 (x 2 − 1),
t 1 = t 2 ,
t 1 z 1 = t 2 z 2 .
(15.13)
La deuxi` eme ´ equation nous donne t 1 = t 2 . En rempla¸ cant dans la premi` ere ´ equation,
on obtient
t 1 =
2
x 1 − x 2 + 2
.
(15.14)
Remarquons que x 1 − x 2 + 2 > 0, donc t 1 est positif. En effet, en regardant la figure (15.35), on voit que la distance entre P 1 et P 2 , qui est donn´ ee par x 2 − x 1 , est plus
petite que la distance entre O 1 et O 2 , qui est 2. Consid´ erons maintenant la troisi` eme
´ equation de (15.13). Puisque t 1 = t 2 = 0, elle nous dit que z 1 = z 2 : c’est la condition
pour que les points P 1 et P 2 soient la projection d’un mˆ eme point P . En effet, si on
prend deux points quelconques P 1 et P 2 , les droites (D 1 ) et (D 2 ) ne se couperont pas
en g´ en´ eral. La condition z 1 = z 2 dit que les deux droites sont situ´ ees dans le mˆ eme plan
z = z 1 y et donc, se couperont si x 1 − x 2 = 2.
On a maintenant localis´ e le point P :
(a, b, c) = (−1, 0, 0) +
2
x1−x2+2 (x 1 + 1, 1, z 1 )
=
x1+x2
x1−x2+2 ,
2
x1−x2+2 ,
2z1
x1−x2+2
.