15.4 La disposition optimale des antennes
545
Disposition des antennes en un r´ eseau hexagonal r´ egulier Consid´ erons enfin un
hexagone de cˆ ot´ e a. Le point le plus ´ eloign´ e des six sommets est le centre de l’hexagone,
lequel est situ´ e ` a la distance a des six sommets. On doit donc prendre des hexagones de
cˆ ot´ e a = r.
Pour couvrir le grand territoire n × n (figure 15.28), on utilise une disposition aux
Fig. 15.28. R´ eseau hexagonal r´ egulier
sommets d’un pavage compos´ e d’hexagones ayant deux cˆ ot´ es horizontaux. On remarquera que, sur chaque ligne horizontale contenant des points du r´ eseau, les points sont
distants de r, 2r, r, 2r, r, 2r . . . La distance moyenne entre deux points est donc de
3
2 r.
Pour traverser le territoire horizontalement, on a besoin d’une ligne de
2n
3r points. Les
lignes successives sont situ´ ees ` a la distance h les unes des autres, o` u h =
√
3
2 r. On a donc
besoin de
n
h =
2n
√
3r
lignes pour couvrir tout le territoire. Au total, on a donc besoin de
4
3
√
3
n
2
r 2 ≈ 0,770
n
2
r 2
antennes, soit deux fois plus qu’avec un r´ eseau triangulaire.
Si on compare les trois solutions, on voit que le r´ eseau triangulaire r´ egulier est de
loin le plus ´ economique. Il est suivi du r´ eseau carr´ e et du r´ eseau hexagonal r´ egulier.
On aurait pu deviner graphiquement que le r´ eseau triangulaire r´ egulier est exactement deux fois plus ´ economique que le r´ eseau hexagonal r´ egulier. En effet, si on prend le
r´ eseau hexagonal r´ egulier, on peut remarquer que les centres des hexagones forment un
r´ eseau triangulaire r´ egulier (figure 15.29). Le centre de chaque triangle co¨ ıncide avec un
sommet du r´ eseau hexagonal r´ egulier. Il est donc exactement `
a la distance r des sommets
du triangle. Sur chaque ligne horizontale o` u on retrouve des sommets, on trouve deux
points du r´ eseau hexagonal r´ egulier pour chaque point du r´ eseau triangulaire r´ egulier.