544
15 Flashs-science
2
3
√
3
n
2
r 2 ≈ 0,385
n
2
r 2
(15.12)
antennes. Ce nombre varie comme un multiple de n
2 .
En faisant ce calcul, on a n´ eglig´ e de pr´ eciser comment ´ etaient dispos´ es les sommets
par rapport au bord du territoire. Faut-il mettre des antennes sur son bord inf´ erieur ou
commencer la premi` ere rang´ ee ` a l’int´ erieur ? `
A quelle distance du bord lat´ eral gauche
doit-on mettre la premi` ere antenne ? On voit que toutes ces questions sont beaucoup
plus difficiles que le calcul qu’on a d´ ej` a fait. Mais on peut se convaincre que la variation
du nombre d’antennes que l’on obtient en ´ etudiant les diff´ erentes possibilit´ es est au
maximum de l’ordre de Cn o` u C est une constante positive. Si n est assez grand, elle
est donc n´ egligeable par rapport `
a la borne donn´ ee en (15.12), qui est un multiple
de n
2 . Cette remarque est aussi valable pour les r´ eseaux carr´ e et hexagonal que nous
consid´ ererons.
Disposition en r´ eseau carr´ e Consid´ erons maintenant un carr´ e de cˆ ot´ e a. Dans un tel
carr´ e, le point le plus ´ eloign´ e des quatre sommets est le centre de gravit´ e situ´ e au point
d’intersection des deux diagonales. Il est `
a la distance r =
1
√
2
a des quatre sommets. On
doit donc prendre des carr´ es de cˆ ot´ e a =
√
2r.
Consid´ erons maintenant un grand territoire, par exemple, un carr´ e n × n dont le
cˆ ot´ e n est beaucoup plus grand que r (figure 15.27), o` u on va disposer des antennes aux
sommets de carr´ es de cˆ ot´ e a. On a vu qu’on peut n´ egliger l’erreur due aux antennes
Fig. 15.27. R´ eseau carr´ e
proches du bord. On commence par aligner des antennes ` a la distance a. Pour traverser
le territoire horizontalement, on a besoin d’une ligne de
n
√
2r
antennes. Les lignes successives sont situ´ ees ` a la distance a les unes des autres. On a donc besoin de
n
√
2r
lignes
pour couvrir tout le territoire. Au total, on a donc besoin de
1
2
n
2
r 2 ≈ 0,5
n
2
r 2
antennes.
15 Flashs-science
2
3
√
3
n
2
r 2 ≈ 0,385
n
2
r 2
(15.12)
antennes. Ce nombre varie comme un multiple de n
2 .
En faisant ce calcul, on a n´ eglig´ e de pr´ eciser comment ´ etaient dispos´ es les sommets
par rapport au bord du territoire. Faut-il mettre des antennes sur son bord inf´ erieur ou
commencer la premi` ere rang´ ee ` a l’int´ erieur ? `
A quelle distance du bord lat´ eral gauche
doit-on mettre la premi` ere antenne ? On voit que toutes ces questions sont beaucoup
plus difficiles que le calcul qu’on a d´ ej` a fait. Mais on peut se convaincre que la variation
du nombre d’antennes que l’on obtient en ´ etudiant les diff´ erentes possibilit´ es est au
maximum de l’ordre de Cn o` u C est une constante positive. Si n est assez grand, elle
est donc n´ egligeable par rapport `
a la borne donn´ ee en (15.12), qui est un multiple
de n
2 . Cette remarque est aussi valable pour les r´ eseaux carr´ e et hexagonal que nous
consid´ ererons.
Disposition en r´ eseau carr´ e Consid´ erons maintenant un carr´ e de cˆ ot´ e a. Dans un tel
carr´ e, le point le plus ´ eloign´ e des quatre sommets est le centre de gravit´ e situ´ e au point
d’intersection des deux diagonales. Il est `
a la distance r =
1
√
2
a des quatre sommets. On
doit donc prendre des carr´ es de cˆ ot´ e a =
√
2r.
Consid´ erons maintenant un grand territoire, par exemple, un carr´ e n × n dont le
cˆ ot´ e n est beaucoup plus grand que r (figure 15.27), o` u on va disposer des antennes aux
sommets de carr´ es de cˆ ot´ e a. On a vu qu’on peut n´ egliger l’erreur due aux antennes
Fig. 15.27. R´ eseau carr´ e
proches du bord. On commence par aligner des antennes ` a la distance a. Pour traverser
le territoire horizontalement, on a besoin d’une ligne de
n
√
2r
antennes. Les lignes successives sont situ´ ees ` a la distance a les unes des autres. On a donc besoin de
n
√
2r
lignes
pour couvrir tout le territoire. Au total, on a donc besoin de
1
2
n
2
r 2 ≈ 0,5
n
2
r 2
antennes.