15.4 La disposition optimale des antennes
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La compagnie ´ etudie diff´ erents types de disposition pour ´ etablir laquelle requiert le
moins d’antennes. On ne consid´ erera que des dispositions r´ eguli` eres, plus pr´ ecis´ ement
les trois dispositions suivantes :
• r´ eseau triangulaire r´ egulier ;
• r´ eseau carr´ e ;
• r´ eseau hexagonal r´ egulier.
On suppose que le territoire est grand et de forme pas trop allong´ ee de mani` ere ` a ne
pas devoir se soucier de la meilleure mani` ere d’approcher les bords.
Disposition en r´ eseau triangulaire r´ egulier On veut couvrir un grand territoire
en pla¸ cant des antennes aux sommets d’un r´ eseau triangulaire r´ egulier. Deux antennes
voisines sont `
a la distance a l’une de l’autre, o` u a est la longueur du cˆ ot´ e des triangles
´ equilat´ eraux du r´ eseau. Dans un tel triangle, le point le plus ´ eloign´ e des trois sommets
est le centre du cercle circonscrit, qui est le point d’intersection des trois m´ ediatrices.
La longueur de la m´ ediatrice d’un cˆ ot´ e est donn´ ee par h = a cos
π
3 =
√
3
2 a. Comme le
triangle est ´ equilat´ eral, les m´ ediatrices des cˆ ot´ es sont aussi les m´ edianes, et on sait que
leur point d’intersection est le centre de gravit´ e du triangle, lequel est situ´ e aux deux
tiers de la longueur de chaque m´ ediane ` a partir du sommet. Donc, le centre de gravit´ e
est ` a la distance
2
3
√
3
2 a =
1
√
3
a des sommets du triangle. Puisque les antennes sont aux
sommets du triangle et que le centre de gravit´ e est le point du triangle le plus ´ eloign´ e
des sommets, chaque antenne doit atteindre ce point, et on doit donc avoir r ≥
1
√
3
a.
Pour minimiser le nombre d’antennes, on prend r =
1
√
3
a. On doit donc prendre des
triangles de cˆ ot´ e a =
√
3r.
Consid´ erons maintenant un grand territoire, par exemple, un carr´ e n × n, dont le
cˆ ot´ e n est beaucoup plus grand que r (figure 15.26). On n´ egligera les ph´ enom` enes au
Fig. 15.26. R´ eseau triangulaire r´ egulier
bord. On commence par aligner des antennes `
a la distance a. Pour traverser le territoire
horizontalement, on a besoin d’une ligne de
n
√
3r
antennes. Les lignes successives sont
situ´ ees ` a la distance h les unes des autres. Comme h =
√
3a
2 =
3
2 r, on a donc besoin de
n
h =
2n
3r lignes pour couvrir tout le territoire. Au total, on a donc besoin de
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La compagnie ´ etudie diff´ erents types de disposition pour ´ etablir laquelle requiert le
moins d’antennes. On ne consid´ erera que des dispositions r´ eguli` eres, plus pr´ ecis´ ement
les trois dispositions suivantes :
• r´ eseau triangulaire r´ egulier ;
• r´ eseau carr´ e ;
• r´ eseau hexagonal r´ egulier.
On suppose que le territoire est grand et de forme pas trop allong´ ee de mani` ere ` a ne
pas devoir se soucier de la meilleure mani` ere d’approcher les bords.
Disposition en r´ eseau triangulaire r´ egulier On veut couvrir un grand territoire
en pla¸ cant des antennes aux sommets d’un r´ eseau triangulaire r´ egulier. Deux antennes
voisines sont `
a la distance a l’une de l’autre, o` u a est la longueur du cˆ ot´ e des triangles
´ equilat´ eraux du r´ eseau. Dans un tel triangle, le point le plus ´ eloign´ e des trois sommets
est le centre du cercle circonscrit, qui est le point d’intersection des trois m´ ediatrices.
La longueur de la m´ ediatrice d’un cˆ ot´ e est donn´ ee par h = a cos
π
3 =
√
3
2 a. Comme le
triangle est ´ equilat´ eral, les m´ ediatrices des cˆ ot´ es sont aussi les m´ edianes, et on sait que
leur point d’intersection est le centre de gravit´ e du triangle, lequel est situ´ e aux deux
tiers de la longueur de chaque m´ ediane ` a partir du sommet. Donc, le centre de gravit´ e
est ` a la distance
2
3
√
3
2 a =
1
√
3
a des sommets du triangle. Puisque les antennes sont aux
sommets du triangle et que le centre de gravit´ e est le point du triangle le plus ´ eloign´ e
des sommets, chaque antenne doit atteindre ce point, et on doit donc avoir r ≥
1
√
3
a.
Pour minimiser le nombre d’antennes, on prend r =
1
√
3
a. On doit donc prendre des
triangles de cˆ ot´ e a =
√
3r.
Consid´ erons maintenant un grand territoire, par exemple, un carr´ e n × n, dont le
cˆ ot´ e n est beaucoup plus grand que r (figure 15.26). On n´ egligera les ph´ enom` enes au
Fig. 15.26. R´ eseau triangulaire r´ egulier
bord. On commence par aligner des antennes `
a la distance a. Pour traverser le territoire
horizontalement, on a besoin d’une ligne de
n
√
3r
antennes. Les lignes successives sont
situ´ ees ` a la distance h les unes des autres. Comme h =
√
3a
2 =
3
2 r, on a donc besoin de
n
h =
2n
3r lignes pour couvrir tout le territoire. Au total, on a donc besoin de