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15 Flashs-science
(x(t, x 0 ), y(t, x 0 ), z(t, x 0 )) = (x 0 , −B + 2Bt, −Cx 0 + 2Ctx 0 ).
(15.10)
On a donc
z = Cx 0 (2t − 1) =
C
B
x 0 y =
C
B
xy.
Si on pose
x =
1
√
2
(X − Y ),
y =
1
√
2
(X + Y ),
(15.11)
l’´ equation devient
z =
C
B
xy =
C
2B
(X
2
− Y
2 ).
On reconnaˆ ıt l’´ equation d’un parabolo¨ ıde hyperbolique. Remarque : le changement de
variables (15.11) ´ equivaut ` a une rotation de 45 degr´ es du syst` eme de coordonn´ ees autour
de l’axe des z.
Ici encore, on doit montrer que tout point du parabolo¨ ıde hyperbolique est sur
l’une des droites. Le calcul est plus facile que pour l’hyperbolo¨ ıde. Soit (x, y, z) sur le
parabolo¨ ıde hyperbolique. Il suffit de v´ erifier qu’il existe x 0 et t tels que (x, y, z) =
(x(t, x 0 ), y(t, x 0 ), z(t, x 0 )). On choisit bien sˆ ur x 0 = x. En posant y = −B + 2Bt, on
obtient t =
y+B
2B . Puisque z est sur le parabolo¨ ıde hyperbolique, on a z =
C
B xy. Ceci
donne
z =
C
B
x(−B + 2Bt) = Cx(2t − 1) = z(t, x 0 ).
Donc, (x, y, z) = (x(t, x 0 ), y(t, x 0 ), z(t, x 0 )) pour x 0 = x et t =
y+B
2B , ce qui garantit que
(x, y, z) est sur la droite (Δ x ).
La proposition 15.14 sugg` ere une m´ ethode de construction d’un toit en forme de
parabolo¨ ıde hyperbolique. On fixe deux poutres suivant les droites (D 1 ) et (D 2 ), sur
lesquelles on aligne des poutres plus petites et plus ´ etroites ou encore, des planches
minces le long des droites (Δ x0 ).
15.4 La disposition optimale des antennes en t´ el´ ephonie mobile
La t´ el´ ephonie mobile a maintenant envahi notre quotidien. Beaucoup de compagnies
offrent le service. Pour ce faire, chacune doit installer des antennes sur le territoire
qu’elle dessert, de mani` ere ` a ce que tout point du territoire desservi soit suffisamment
proche d’une antenne. Pour le moment, le service est bon pr` es des grands centres ou
des grands axes de communication, mais il reste encore de nombreuses r´ egions ´ eloign´ ees
qui n’ont pas acc` es au service.
Supposons qu’une compagnie veuille disposer des antennes sur un grand territoire de
mani` ere ` a ce que l’ensemble du territoire ait acc` es au service de t´ el´ ephonie mobile, c’est` a-dire qu’en tout point du territoire, on soit `
a une distance inf´ erieure `
a r d’une antenne.
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(x(t, x 0 ), y(t, x 0 ), z(t, x 0 )) = (x 0 , −B + 2Bt, −Cx 0 + 2Ctx 0 ).
(15.10)
On a donc
z = Cx 0 (2t − 1) =
C
B
x 0 y =
C
B
xy.
Si on pose
x =
1
√
2
(X − Y ),
y =
1
√
2
(X + Y ),
(15.11)
l’´ equation devient
z =
C
B
xy =
C
2B
(X
2
− Y
2 ).
On reconnaˆ ıt l’´ equation d’un parabolo¨ ıde hyperbolique. Remarque : le changement de
variables (15.11) ´ equivaut ` a une rotation de 45 degr´ es du syst` eme de coordonn´ ees autour
de l’axe des z.
Ici encore, on doit montrer que tout point du parabolo¨ ıde hyperbolique est sur
l’une des droites. Le calcul est plus facile que pour l’hyperbolo¨ ıde. Soit (x, y, z) sur le
parabolo¨ ıde hyperbolique. Il suffit de v´ erifier qu’il existe x 0 et t tels que (x, y, z) =
(x(t, x 0 ), y(t, x 0 ), z(t, x 0 )). On choisit bien sˆ ur x 0 = x. En posant y = −B + 2Bt, on
obtient t =
y+B
2B . Puisque z est sur le parabolo¨ ıde hyperbolique, on a z =
C
B xy. Ceci
donne
z =
C
B
x(−B + 2Bt) = Cx(2t − 1) = z(t, x 0 ).
Donc, (x, y, z) = (x(t, x 0 ), y(t, x 0 ), z(t, x 0 )) pour x 0 = x et t =
y+B
2B , ce qui garantit que
(x, y, z) est sur la droite (Δ x ).
La proposition 15.14 sugg` ere une m´ ethode de construction d’un toit en forme de
parabolo¨ ıde hyperbolique. On fixe deux poutres suivant les droites (D 1 ) et (D 2 ), sur
lesquelles on aligne des poutres plus petites et plus ´ etroites ou encore, des planches
minces le long des droites (Δ x0 ).
15.4 La disposition optimale des antennes en t´ el´ ephonie mobile
La t´ el´ ephonie mobile a maintenant envahi notre quotidien. Beaucoup de compagnies
offrent le service. Pour ce faire, chacune doit installer des antennes sur le territoire
qu’elle dessert, de mani` ere ` a ce que tout point du territoire desservi soit suffisamment
proche d’une antenne. Pour le moment, le service est bon pr` es des grands centres ou
des grands axes de communication, mais il reste encore de nombreuses r´ egions ´ eloign´ ees
qui n’ont pas acc` es au service.
Supposons qu’une compagnie veuille disposer des antennes sur un grand territoire de
mani` ere ` a ce que l’ensemble du territoire ait acc` es au service de t´ el´ ephonie mobile, c’est` a-dire qu’en tout point du territoire, on soit `
a une distance inf´ erieure `
a r d’une antenne.