15.3 Les quadriques en architecture
541
Nous venons de voir qu’un hyperbolo¨ ıde `
a une nappe est l’union d’une famille de
droites. Si vous regardez la figure 15.24, vous pouvez facilement imaginer qu’il existe une
deuxi` eme famille de droites qui est la sym´ etrique de la premi` ere (voir l’exercice 12). C’est
un tr` es gros avantage si l’on veut construire une telle forme en b´ eton. Non seulement
on peut r´ ealiser un coffrage avec des planches plates, ` a condition qu’elles soient assez
´ etroites, mais on peut armer le b´ eton de tiges droites dans deux directions diff´ erentes.
Ceci simplifie ´ enorm´ ement la construction et permet d’obtenir une structure tr` es solide.
Le parabolo¨ ıde hyperbolique Dans un rep` ere orthornorm´ e bien choisi, il a l’´ equation
z =
x
2
a 2 −
y
2
b 2 ,
(15.9)
o` u a, b > 0 (figure 15.22). L’intersection avec un plan quelconque contenant l’axe des z,
soit un plan d’´ equation Ax + By = 0, est soit une parabole, soit une droite horizontale.
Par contre, l’intersection avec un plan parall` ele au plan (x, y), soit un plan d’´ equation
z = C, est une hyperbole dans ce plan si C = 0 et deux droites si C = 0.
Proposition 15.14 Soient B, C > 0. On se donne les droites (D 1 ) et (D 2 ) d’´ equations
(D 1 )
z = −Cx,
y = −B,
(D 2 )
z = Cx,
y = B.
On consid` ere la droite (Δ x0 ) joignant le point P (x 0 ) = (x 0 , −B, −Cx 0 ) de (D 1 ) au point
Q(x 0 ) = (x 0 , B, Cx 0 ) de (D 2 ). Alors, la r´ eunion des droites (Δ x0 ) est un parabolo¨ ıde
hyperbolique (figure 15.25).
Fig. 15.25. Deux familles de droites sur un parabolo¨ ıde hyperbolique
Preuve La droite (Δ x0 ) passe par P (x 0 ) et a pour vecteur directeur
− −−−−−−− →
P (x 0 )Q(x 0 ).
C’est donc l’ensemble des points
541
Nous venons de voir qu’un hyperbolo¨ ıde `
a une nappe est l’union d’une famille de
droites. Si vous regardez la figure 15.24, vous pouvez facilement imaginer qu’il existe une
deuxi` eme famille de droites qui est la sym´ etrique de la premi` ere (voir l’exercice 12). C’est
un tr` es gros avantage si l’on veut construire une telle forme en b´ eton. Non seulement
on peut r´ ealiser un coffrage avec des planches plates, ` a condition qu’elles soient assez
´ etroites, mais on peut armer le b´ eton de tiges droites dans deux directions diff´ erentes.
Ceci simplifie ´ enorm´ ement la construction et permet d’obtenir une structure tr` es solide.
Le parabolo¨ ıde hyperbolique Dans un rep` ere orthornorm´ e bien choisi, il a l’´ equation
z =
x
2
a 2 −
y
2
b 2 ,
(15.9)
o` u a, b > 0 (figure 15.22). L’intersection avec un plan quelconque contenant l’axe des z,
soit un plan d’´ equation Ax + By = 0, est soit une parabole, soit une droite horizontale.
Par contre, l’intersection avec un plan parall` ele au plan (x, y), soit un plan d’´ equation
z = C, est une hyperbole dans ce plan si C = 0 et deux droites si C = 0.
Proposition 15.14 Soient B, C > 0. On se donne les droites (D 1 ) et (D 2 ) d’´ equations
(D 1 )
z = −Cx,
y = −B,
(D 2 )
z = Cx,
y = B.
On consid` ere la droite (Δ x0 ) joignant le point P (x 0 ) = (x 0 , −B, −Cx 0 ) de (D 1 ) au point
Q(x 0 ) = (x 0 , B, Cx 0 ) de (D 2 ). Alors, la r´ eunion des droites (Δ x0 ) est un parabolo¨ ıde
hyperbolique (figure 15.25).
Fig. 15.25. Deux familles de droites sur un parabolo¨ ıde hyperbolique
Preuve La droite (Δ x0 ) passe par P (x 0 ) et a pour vecteur directeur
− −−−−−−− →
P (x 0 )Q(x 0 ).
C’est donc l’ensemble des points