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15 Flashs-science
En rempla¸ cant dans (15.6) et en omettant d’´ ecrire la d´ ependance en t et θ de x, y, z, on
obtient finalement
x
2 + y
2 = R
2
1 +
1
2
(1 − cos φ 0 )
z
2
− z
2
0
z 2
0
,
(15.7)
qui est bien l’´ equation d’un hyperbolo¨ ıde de r´ evolution `
a une nappe. En effet, pour
obtenir la forme
x
2
a 2 +
y
2
a 2 −
z
2
c 2 = 1,
il suffit de choisir
⎧
⎨
⎩
a = R
1+cos φ0
2
,
c =
z0
√
1+cos φ0
√
1−cos φ0
,
si 1 + cos φ 0 = 0, c’est-` a-dire si cos φ 0 = −1 ou encore, φ 0 = π. Pour φ 0 = π, on revient
` a (15.7) qui devient
x
2 + y
2 =
R
2
z 2
0
z
2 ,
ce qui est bien l’´ equation d’un cˆ one (voir l’exercice 10).
Nous venons de montrer que nos droites font partie de notre hyperbolo¨ ıde ou de
notre cˆ one. Donc, l’union des droites est un sous-ensemble de notre surface. Mais est-il
´ egal `
a cette surface ou avons-nous manqu´ e des points ? Il est ais´ e de remarquer que
notre surface est une union de cercles situ´ es dans les diff´ erents plans z = z 1 , pour
z 1 ∈ R (dans le cas du cˆ one le cercle se r´ eduit `
a un point si z 1 = 0). En posant z = z 1
dans (15.5), nous obtenons t =
z1+z0
2z0 . Nous devons montrer que l’ensemble des points
(x(t, θ), y(t, θ)), pour t =
z1+z0
2z0 et θ ∈ [0, 2π], est un cercle.
`
A l’aide des deux formules trigonom´ etriques,
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b,
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b,
(15.8)
nous obtenons
x(t, θ) = R(1 + t(cos φ 0 − 1)) cos θ − tR sin φ 0 sin θ,
y(t, θ) = R(1 + t(cos φ 0 − 1)) sin θ + tR sin φ 0 cos θ.
Soient α = R(1+t(cos φ 0 −1)) et β = tR sin φ 0 . ´
Ecrivons (α, β) en coordonn´ ees polaires :
(α, β) = (r cos ψ 0 , r sin ψ 0 ). Alors,
x(t, θ) = r cos ψ 0 cos θ − r sin ψ 0 sin θ = r cos(θ + ψ 0 ),
y(t, θ) = r cos ψ 0 sin θ + r sin ψ 0 cos θ = r sin(θ + ψ 0 ),
la derni` ere ´ egalit´ e ´ etant d´ eriv´ ee des formules (15.8). Sous cette forme, il est clair que
tous les points du cercle de rayon r sont couverts lorsque θ ∈ [0, 2π].
15 Flashs-science
En rempla¸ cant dans (15.6) et en omettant d’´ ecrire la d´ ependance en t et θ de x, y, z, on
obtient finalement
x
2 + y
2 = R
2
1 +
1
2
(1 − cos φ 0 )
z
2
− z
2
0
z 2
0
,
(15.7)
qui est bien l’´ equation d’un hyperbolo¨ ıde de r´ evolution `
a une nappe. En effet, pour
obtenir la forme
x
2
a 2 +
y
2
a 2 −
z
2
c 2 = 1,
il suffit de choisir
⎧
⎨
⎩
a = R
1+cos φ0
2
,
c =
z0
√
1+cos φ0
√
1−cos φ0
,
si 1 + cos φ 0 = 0, c’est-` a-dire si cos φ 0 = −1 ou encore, φ 0 = π. Pour φ 0 = π, on revient
` a (15.7) qui devient
x
2 + y
2 =
R
2
z 2
0
z
2 ,
ce qui est bien l’´ equation d’un cˆ one (voir l’exercice 10).
Nous venons de montrer que nos droites font partie de notre hyperbolo¨ ıde ou de
notre cˆ one. Donc, l’union des droites est un sous-ensemble de notre surface. Mais est-il
´ egal `
a cette surface ou avons-nous manqu´ e des points ? Il est ais´ e de remarquer que
notre surface est une union de cercles situ´ es dans les diff´ erents plans z = z 1 , pour
z 1 ∈ R (dans le cas du cˆ one le cercle se r´ eduit `
a un point si z 1 = 0). En posant z = z 1
dans (15.5), nous obtenons t =
z1+z0
2z0 . Nous devons montrer que l’ensemble des points
(x(t, θ), y(t, θ)), pour t =
z1+z0
2z0 et θ ∈ [0, 2π], est un cercle.
`
A l’aide des deux formules trigonom´ etriques,
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b,
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b,
(15.8)
nous obtenons
x(t, θ) = R(1 + t(cos φ 0 − 1)) cos θ − tR sin φ 0 sin θ,
y(t, θ) = R(1 + t(cos φ 0 − 1)) sin θ + tR sin φ 0 cos θ.
Soient α = R(1+t(cos φ 0 −1)) et β = tR sin φ 0 . ´
Ecrivons (α, β) en coordonn´ ees polaires :
(α, β) = (r cos ψ 0 , r sin ψ 0 ). Alors,
x(t, θ) = r cos ψ 0 cos θ − r sin ψ 0 sin θ = r cos(θ + ψ 0 ),
y(t, θ) = r cos ψ 0 sin θ + r sin ψ 0 cos θ = r sin(θ + ψ 0 ),
la derni` ere ´ egalit´ e ´ etant d´ eriv´ ee des formules (15.8). Sous cette forme, il est clair que
tous les points du cercle de rayon r sont couverts lorsque θ ∈ [0, 2π].