15.3 Les quadriques en architecture
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Fig. 15.24. Les droites g´ en´ erant un hyperbolo¨ ıde de r´ evolution
x
2 (t, θ) = R
2 [cos
2 θ + t
2 (cos
2 (θ + φ 0 ) − 2 cos(θ + φ 0 ) cos θ + cos
2 θ)
+2t cos θ(cos(θ + φ 0 ) − cos θ)]
et
y
2 (t, θ) = R
2 [sin
2 θ + t
2 (sin
2 (θ + φ 0 ) − 2 sin(θ + φ 0 ) sin θ + sin
2 θ)
+2t sin θ(sin(θ + φ 0 ) − sin θ)],
ce qui donne
x
2 (t, θ) + y
2 (t, θ) = R
2 [1 + 2t
2 (1 − (cos θ cos(θ + φ 0 ) + sin θ sin(θ + φ 0 )))
−2t + 2t(cos θ cos(θ + φ 0 ) + sin θ sin(θ + φ 0 ))].
Remarquons que
cos θ cos(θ + φ 0 ) + sin θ sin(θ + φ 0 ) = cos((θ + φ 0 ) − θ) = cos φ 0 ,
ce qui donne
x
2 (t, θ) + y
2 (t, θ) = R
2 [1 + 2t
2 (1 − cos φ 0 ) − 2t(1 − cos φ 0 )]
= R
2 [1 + 2(t
2
− t)(1 − cos φ 0 )].
(15.6)
Nous progressons : d´ ej` a θ a disparu. Pour se d´ ebarrasser de t, il faut maintenant regarder
z
2 (t, θ) :
z
2 (t, θ) = z
2
0 (1 + 4(t
2
− t)),
d’o` u l’on tire
t
2
− t =
z
2 (t, θ) − z
2
0
4z 2
0
.