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15 Flashs-science
P (x, y, z) = 0,
o` u P est un polynˆ ome de degr´ e 2 et de variables (x, y, z).
Lorsqu’on ´ etudie les quadriques, on peut rencontrer des polynˆ omes P de forme compliqu´ ee. On fait alors des changements de variables pr´ eservant les distances et les angles
pour ramener l’´ equation `
a une forme canonique simple dans laquelle on peut facilement
lire la g´ eom´ etrie. C’est l’´ equivalent, en trois dimensions, de ce qu’on fait en deux dimensions quand on choisit de pr´ esenter l’ellipse dans un rep` ere orthonorm´ e dans lequel
elle a l’´ equation canonique
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1
qui permet de savoir directement que les axes de sym´ etrie sont les axes de coordonn´ ees
et que les demi-axes sont a et b.
L’hyperbolo¨ ıde ` a une nappe Dans un rep` ere orthornorm´ e ad´ equat, il a l’´ equation
x
2
a 2 +
y
2
b 2 −
z
2
c 2 = 1.
(15.4)
On voit que, si on l’intersecte avec un plan quelconque contenant l’axe des z, soit un
plan d’´ equation Ax + By = 0 , alors l’intersection est une hyperbole dans ce plan. Par
contre, si on l’intersecte avec un plan parall` ele au plan (x, y), soit un plan d’´ equation
z = C, alors l’intersection est une ellipse dans ce plan.
Les tours de r´ efrig´ eration des centrales nucl´ eaires ont la forme d’hyperbolo¨ ıdes `
a une
nappe de r´ evolution : dans ce cas, on a a = b dans l’´ equation (15.4) (figure 15.21). Nous
examinerons apr` es la proposition suivante les avantages d’une telle forme.
Proposition 15.13 On consid` ere deux cercles x
2 + y
2 = R
2 situ´ es dans les plans z =
−z 0 et z = z 0 . Soit φ 0 ∈ (−π, 0)∪(0, π] un angle fix´ e. Alors, la r´ eunion des droites (D θ ),
o` u (D θ ) est la droite joignant le point P (θ) = (R cos θ, R sin θ, −z 0 ) du premier cercle au
point Q(θ) = (R cos(θ + φ 0 ), R sin(θ + φ 0 ), z 0 ) du deuxi` eme cercle, est un hyperbolo¨ ıde
de r´ evolution `
a une nappe si φ 0 = π et un cˆ one si φ 0 = π (voir la figure 15.24).
Preuve La droite (D θ ) passe par P (θ) et a pour vecteur directeur le vecteur
− −−−−− →
P (θ)Q(θ).
C’est donc l’ensemble des points
{(x(t, θ), y(t, θ), z(t, θ))|t ∈ R}
tels que
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x(t, θ) = R cos θ + tR(cos(θ + φ 0 ) − cos θ),
y(t, θ) = R sin θ + tR(sin(θ + φ 0 ) − sin θ),
z(t, θ) = −z 0 + 2tz 0 .
(15.5)
On doit ´ eliminer t et θ pour trouver l’´ equation de la surface. Pour cela, on va calculer
x
2 (t, θ) + y
2 (t, θ). On a
15 Flashs-science
P (x, y, z) = 0,
o` u P est un polynˆ ome de degr´ e 2 et de variables (x, y, z).
Lorsqu’on ´ etudie les quadriques, on peut rencontrer des polynˆ omes P de forme compliqu´ ee. On fait alors des changements de variables pr´ eservant les distances et les angles
pour ramener l’´ equation `
a une forme canonique simple dans laquelle on peut facilement
lire la g´ eom´ etrie. C’est l’´ equivalent, en trois dimensions, de ce qu’on fait en deux dimensions quand on choisit de pr´ esenter l’ellipse dans un rep` ere orthonorm´ e dans lequel
elle a l’´ equation canonique
x
2
a 2 +
y
2
b 2 = 1
qui permet de savoir directement que les axes de sym´ etrie sont les axes de coordonn´ ees
et que les demi-axes sont a et b.
L’hyperbolo¨ ıde ` a une nappe Dans un rep` ere orthornorm´ e ad´ equat, il a l’´ equation
x
2
a 2 +
y
2
b 2 −
z
2
c 2 = 1.
(15.4)
On voit que, si on l’intersecte avec un plan quelconque contenant l’axe des z, soit un
plan d’´ equation Ax + By = 0 , alors l’intersection est une hyperbole dans ce plan. Par
contre, si on l’intersecte avec un plan parall` ele au plan (x, y), soit un plan d’´ equation
z = C, alors l’intersection est une ellipse dans ce plan.
Les tours de r´ efrig´ eration des centrales nucl´ eaires ont la forme d’hyperbolo¨ ıdes `
a une
nappe de r´ evolution : dans ce cas, on a a = b dans l’´ equation (15.4) (figure 15.21). Nous
examinerons apr` es la proposition suivante les avantages d’une telle forme.
Proposition 15.13 On consid` ere deux cercles x
2 + y
2 = R
2 situ´ es dans les plans z =
−z 0 et z = z 0 . Soit φ 0 ∈ (−π, 0)∪(0, π] un angle fix´ e. Alors, la r´ eunion des droites (D θ ),
o` u (D θ ) est la droite joignant le point P (θ) = (R cos θ, R sin θ, −z 0 ) du premier cercle au
point Q(θ) = (R cos(θ + φ 0 ), R sin(θ + φ 0 ), z 0 ) du deuxi` eme cercle, est un hyperbolo¨ ıde
de r´ evolution `
a une nappe si φ 0 = π et un cˆ one si φ 0 = π (voir la figure 15.24).
Preuve La droite (D θ ) passe par P (θ) et a pour vecteur directeur le vecteur
− −−−−− →
P (θ)Q(θ).
C’est donc l’ensemble des points
{(x(t, θ), y(t, θ), z(t, θ))|t ∈ R}
tels que
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x(t, θ) = R cos θ + tR(cos(θ + φ 0 ) − cos θ),
y(t, θ) = R sin θ + tR(sin(θ + φ 0 ) − sin θ),
z(t, θ) = −z 0 + 2tz 0 .
(15.5)
On doit ´ eliminer t et θ pour trouver l’´ equation de la surface. Pour cela, on va calculer
x
2 (t, θ) + y
2 (t, θ). On a