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15 Flashs-science
en un faisceau parall` ele (principe que l’on utilise, par exemple, dans les phares), un miroir elliptique refl` ete un faisceau venant d’un point en un faisceau convergeant vers un
autre point. Certaines ampoules pourront donc ˆ etre utilis´ ees avec un miroir elliptique.
C’est le cas de certaines lampes dans les projecteurs de cin´ ema, le dispositif permettant
de concentrer la lumi` ere qui traverse le film pr´ ecis´ ement dans l’orifice ´ etroit de l’objectif.
Les miroirs secondaires des t´ elescopes peuvent aussi avoir des formes elliptiques.
Les voˆ utes elliptiques La propri´ et´ e d´ ecrite s’observe aussi en acoustique. Ainsi, les
voˆ utes du m´ etro de Paris ont une section transversale qui est ` a peu pr` es une ellipse. Un
voyageur bien plac´ e sur un quai (non loin du foyer de l’ellipse) entend beaucoup mieux
la conversation de la personne en face de lui sur l’autre quai (aux environs de l’autre
foyer) que celle d’une personne situ´ ee beaucoup plus pr` es sur le mˆ eme quai que lui.
15.2.3 L’hyperbole
Rappelons la d´ efinition g´ eom´ etrique de l’hyperbole.
D´ efinition 15.10 L’hyperbole est le lieu g´ eom´ etrique des points du plan tels que la
valeur absolue de la diff´ erence de leurs distances `
a deux points F 1 and F 2 (appel´ es les
foyers) est ´ egale `
a une constante C < |F 1 F 2 |. Donc, un point P est sur l’hyperbole si et
seulement si
| |F 1 P | − |F 2 P | | = C.
Une hyperbole a deux branches. La branche attach´ ee au foyer F 1 est l’ensemble des
points P tels que |F 2 P | − |F 1 P | = C, tandis que la branche attach´ ee ` a F 2 est l’ensemble
des points P tels que |F 1 P | − |F 2 P | = C.
L’hyperbole a la propri´ et´ e remarquable suivante.
Th´ eor` eme 15.11 (la propri´ et´ e remarquable de l’hyperbole) Tout rayon incident situ´ e ` a l’ext´ erieur d’une branche d’hyperbole et dirig´ e vers le foyer situ´ e ` a l’int´ erieur
de cette branche est r´ efl´ echi sur la branche d’hyperbole vers l’autre foyer de l’hyperbole
(figure 15.19).
Preuve La preuve, semblable ` a celle du th´ eor` eme 15.9, est laiss´ ee pour l’exercice 4.
Les miroirs hyperboliques Les miroirs convexes de forme hyperbolique sont aussi
´ etudi´ es en optique g´ eom´ etrique et utilis´ es dans nombre d’applications, parmi lesquelles
la fabrication d’appareils photo. Nous avons vu ci-dessus que dans le t´ elescope de type
Schmidt–Cassegrain (figure 15.14), le miroir primaire du t´ elescope est parabolique et
concentre donc un faisceau lumineux parall` ele ` a son axe en son foyer. Le miroir secondaire est convexe de forme hyberbolique et de mˆ eme foyer que le miroir parabolique.
Il refl` ete donc le faisceau convergent en un faisceau convergent en un seul point, le
deuxi` eme foyer de l’hyperbole.
15 Flashs-science
en un faisceau parall` ele (principe que l’on utilise, par exemple, dans les phares), un miroir elliptique refl` ete un faisceau venant d’un point en un faisceau convergeant vers un
autre point. Certaines ampoules pourront donc ˆ etre utilis´ ees avec un miroir elliptique.
C’est le cas de certaines lampes dans les projecteurs de cin´ ema, le dispositif permettant
de concentrer la lumi` ere qui traverse le film pr´ ecis´ ement dans l’orifice ´ etroit de l’objectif.
Les miroirs secondaires des t´ elescopes peuvent aussi avoir des formes elliptiques.
Les voˆ utes elliptiques La propri´ et´ e d´ ecrite s’observe aussi en acoustique. Ainsi, les
voˆ utes du m´ etro de Paris ont une section transversale qui est ` a peu pr` es une ellipse. Un
voyageur bien plac´ e sur un quai (non loin du foyer de l’ellipse) entend beaucoup mieux
la conversation de la personne en face de lui sur l’autre quai (aux environs de l’autre
foyer) que celle d’une personne situ´ ee beaucoup plus pr` es sur le mˆ eme quai que lui.
15.2.3 L’hyperbole
Rappelons la d´ efinition g´ eom´ etrique de l’hyperbole.
D´ efinition 15.10 L’hyperbole est le lieu g´ eom´ etrique des points du plan tels que la
valeur absolue de la diff´ erence de leurs distances `
a deux points F 1 and F 2 (appel´ es les
foyers) est ´ egale `
a une constante C < |F 1 F 2 |. Donc, un point P est sur l’hyperbole si et
seulement si
| |F 1 P | − |F 2 P | | = C.
Une hyperbole a deux branches. La branche attach´ ee au foyer F 1 est l’ensemble des
points P tels que |F 2 P | − |F 1 P | = C, tandis que la branche attach´ ee ` a F 2 est l’ensemble
des points P tels que |F 1 P | − |F 2 P | = C.
L’hyperbole a la propri´ et´ e remarquable suivante.
Th´ eor` eme 15.11 (la propri´ et´ e remarquable de l’hyperbole) Tout rayon incident situ´ e ` a l’ext´ erieur d’une branche d’hyperbole et dirig´ e vers le foyer situ´ e ` a l’int´ erieur
de cette branche est r´ efl´ echi sur la branche d’hyperbole vers l’autre foyer de l’hyperbole
(figure 15.19).
Preuve La preuve, semblable ` a celle du th´ eor` eme 15.9, est laiss´ ee pour l’exercice 4.
Les miroirs hyperboliques Les miroirs convexes de forme hyperbolique sont aussi
´ etudi´ es en optique g´ eom´ etrique et utilis´ es dans nombre d’applications, parmi lesquelles
la fabrication d’appareils photo. Nous avons vu ci-dessus que dans le t´ elescope de type
Schmidt–Cassegrain (figure 15.14), le miroir primaire du t´ elescope est parabolique et
concentre donc un faisceau lumineux parall` ele ` a son axe en son foyer. Le miroir secondaire est convexe de forme hyberbolique et de mˆ eme foyer que le miroir parabolique.
Il refl` ete donc le faisceau convergent en un faisceau convergent en un seul point, le
deuxi` eme foyer de l’hyperbole.